Ç ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÇ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ

Date: 01:24 Mar 23, 2006

Ç ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÇ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ

Date: 02:43 Mar 25, 2006

Óõíå÷åéá.. áðï óåëéäá 1.                                            Óåëéäá 2

ÔÏ ÈÅÌÅËÉÙÄÅÓ ÈÅÙÑÇÌÁ ÔÇÓ ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÇÓ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁÓ

                                   ÈÅÙÑÇÌÁ

Áðï åíá óçìåéï Ì ðïõ âñéóêåôáé, åêôïò åíïò óçìåéóõíïëïõ S ç äåí öåñåôáé ðïôå êáìéá ðáñáëëçëïò ç öåñåôáé ìéá êáé ìïíï ìéá ç öåñïíôáé áðåéñåò ðáñáëëçëåò, ðñïò ôï óçìåéïóõíïëï  S.

                                    ÁÐÏÄÅÉÎÇ

Åíá óçìåéïóõíïëï S, áðïôåëåéôáé ç áðï åíá ìïíï óçìåéï ç áðï ðåñéóóïôåñá ôïõ åíïò óçìåéá.
Áò ðáñïõìå ôçí ðñùôç ðåñéðôùóç:

Á. Åóôù  óôï åðéðåäï åíá óçìåéï S êáé åíá áëëï óçìåéï Ì åêôïò áõôïõ. Óõìöùíá ìå ôïí ïñéóìï ôùí ðáñáëëçëùí ðïõ áíáöåñáìå ðáñáðáíù, ôï óçìåéï Ì åéíáé ðáñáëëçëï ðñïò ôï óçìåéï S. Å÷ïõìå äçëáäç, ìéá ðáñáëëçëï ðïõ öåñåôáé áðï ôï óçìåéï Ì ðñïò ôï óçìåéï S. Ôé óõìâáéíåé ïìùò, åáí áðï ôï óçìåéï Ì öåñïíôáé ðåñéóóïôåñåò áðï ìéá ðáñáëëçëåò ðñïò ôï óçìåéï S?
Ç áðáíôçóç åéíáé ç åîçò:
Åóôù ïôé, áðï ôï óçìåéï Ì öåñåôáé êáé ìéá äåõôåñç ðáñáëëçëïò ðñïò ôï óçìåéï S êáé áò õðïèåóïõìå ïôé, áõôç åéíáé ç ÌÌ'.
Ãéá íá åéíáé ïìùò ç ÌÌ', ðáñáëëçëïò ðñïò ôï óçìåéï S èá ðñåðåé ôï ÌÌ' íá åéíáé ôïîï êõêëïõ ðïõ ãñáöåôáé ìå êåíôñï ôï óçìåéï S êáé áêôéíá SÌ. Áëëá ïìùò, ìåôáîõ ôùí óçìåéùí Ì êáé Ì' ôïõ ôïîïõ ÌÌ' õðáñ÷ïõí áðåéñá óçìåéá Ì'', Ì''', Ì'''',.......Óõíåðùò, ôá ôïîá ÌÌ'', ÌÌ''', ÌÌ'''',...... åéíáé ðáñáëëçëåò ðñïò ôï óçìåéï S, óõìöùíá ìå ôïí ïñéóìï ôùí ðáñáëëçëùí.
Áñá óôçí ðåñéðôùóç ìáò, åáí áðï ôï óçìåéï Ì ðñïò ôï óçìåéï S, öåñïíôáé ðåñïóóïôåñåò áðï ìéá ðáñáëëçëåò, ôïôå áðï ôï óçìåéï Ì, öåñïíôáé áðåéñåò ðáñáëëçëåò ðñïò ôï óçìåéï S.

Â. Åóôù óôï åðéðåäï, ìéá ëåéá óõíå÷çò ãñáììç SS'(åõèåéá ç êáìðõëç).
Óå ìéá ôåôïéá ðåñéðôùóç, ç ãñáììç áõôç:
á) Ç, èá åêôåéíåôáé êáé ðñïò ôá áñéóôåñá êáé ðñïò ôá äåîéá  óôï áðåéñï , çôïé  åéíáé  ç  SS'.
â) Ç, èá åéíáé êëåéóôç áðï áñéóôåñá êáé èá åêôåéíåôáé ðñïò ôá äåîéá óôï áðåéñï, çôïé åéíáé ç [ÁS').
ã) Ç, èá åéíáé êëåéóôç ðñïò ôá äåîéá êáé èá åêôåéíåôáé ðñïò ôá áñéóôåñá óôï áðåéñï, çôïé åéíáé ç (SB].
ä) Ç, èá åéíáé êëåéóôç êáé áðï äåîéá êáé áðï áñéóôåñá êáé åéíáé ç [ÁÂ].
Áõôåò åéíáé ïé ôåóåñåò âáóéêåò ðåñéðôùóåéò ðïõ èá áó÷ïëçèïõìå.
Áëëåò åéäéêåò ðåñéðôùóåéò ð,÷ (SB), ê.ë.ð  äåí ðáéæïõí êáíåíá ñïëï óôçí áðïäåéîç ôïõ ðáñáðáíù èåùñçìáôïò.

Áò ðáñïõìå ôùñá ôç ðåñéðôùóç (á):
Óôçí ðåñéðôùóç áõôç áðï ôï óçìåéï Ì, öåñåôáé áðï ôï óçìåéï Ì, ìéá êáé ìïíï ìéá ðáñáëëçëïò ÷÷' ðñïò ôçí ãñáììç SS'. Ç ðáñáëëçëïò áõôç ãñáììç, áêôåéíåôáé êáé ðñïò áñéóôåñá êáé ðñïò ôá äåîéá óôï áðåéñï.

Áò ðáñïõìå ôùñá ôç ðåñéðôùóç (â):
Óôçí ðåñéðôùóç áõôç áðï ôï óçìåéï Ì, ìðïñïõìå íá öåñïõìå ìéá ðáñáëëçëïò Ì'÷' ðñïò ôçí çìé-ãñáììç [ÁS'). Áò õðïèåóïõìå ôùñá ïôé, áðï ôï óçìåéï Ì öåñïõìå êáé ìéá äåõôåñç ðáñáëëçëï Ì''÷' ðñïò ôçí ãñáììç [ÁS').
Áëëá ïìùò, ìåôáîõ ôùí óçìåéùí Ì' êáé Ì'', õðáñ÷ïõí áðåéñá óçìåéá , çôïé ôá óçìåéá Ì''', Ì'''', Ì''''',....
Óõíåðùò, ïé ãñáììåò Ì'''÷', Ì''''÷', Ì'''''÷',..........åéíáé ðáñáëëçëåò ðñïò ôçí áñ÷éêç ãñáììç [ÁS').
Áñá ëïéðïí, óôçí ðåñéðôùóç (â), ïôáí áðï ôï óçìåéï Ì öåñïõìå êáé äåõôåñç ðáñáëëçëï ðñïò ôç ãñáììç [ÁS'), ôïôå, ìðïñïõìå íá öåñïõìå áðåéñåò ðáñáëëçëåò ðñïò ôç ãñáììç [ÁS').

Óçìåéùóç:Ìå ôïí éäéï áêñéâùò ôñïðï ðïõ åñãáóèçêáìå ðáñáðáíù ãéá ôçí ðåñéðôùóç (â), åñãáæïìáóôå êáé ãéá ôéò áëëåò ðåñéðôùóåéò (ã) êáé (ä).

Åðéóçò óôï óçìåéï áõôï èá ðñåðåé íá ôïíéóïõìå ïôé, õðáñ÷ïõí óçìåéïóõíïëá óôá ïðïéá äåí öåñåôáé ðïôå ðáñáëëçëïò áðï åíá óçìåéï Ì. Åíá ôåôïéï óçìåéïóõíïëï, åéíáé ð.÷ ìéá ãùíéá ÷ïø ôïõ åðéðåäïõ óôçí ïðïéá áðï åíá óçìåéï Ì ðïõ âñéóêåôáé óôï åóùôåñéêï (óôï êõñôï ìåñïò) ôçò ãùíéáò áõôçò äåí ìðïñïõìå ðïôå íá öåñïõìå ðáñáëëçëï ðñïò ôéò ðëåõñåò ôçò ãùíéáò áõôçò ÷ïø.

Óõíåðùò ìåôá áðï áõôá ðïõ áíáöåñáìå ðáñáðáíù, áðïäåé÷èçêå ôï èåìåëéùäåò èåùñçìá ôçò Ãåíéêåõìåíçò Ãåùìåôñéáò.

                         ÁÎÉÏÓÇÌÅÉÙÔÇ ÐÁÑÁÔÇÑÇÓÇ
Ôï èåìåëéùäåò èåùñçìá ôçò Ãåíéêåõìåíçò Ãåùìåôñéáò, éó÷õåé ãéá ïðïéïäçðïôå óçìåéïóõíïëï (óõíåêôéêï, ìç óõíåêôéêï) êáé ãéá ïðéïíäçðïôå ÷ùñï ( Åõêëåéäåéï ç ìç Åõêëåéäåéï), ïóùíäçðïôå äéáóôáóåùí. Ç óõëëïãéóôéêç êáé ï ôñïðïò áðïäåéîçò ôïõ èåùñçìáôïò óôéò ðåñéðôùóåéò áõôåò åéíáé, áíôéóôïé÷ïò ìå ôïí ôñïðï ðïõ áíáöåñáìå ðáñáðáíù.

ÐÏÑÉÓÌÁ: Áðï åíá óçìåéï Ì ðïõ âñéóêåôáé åêôïò åíïò óçìåéïóõíïëïõ S, äåí ìðïñïõìå ðïôå íá öåñïõìå åíáí áñéèìï Í ðáñáëëçëùí ðñïò áõôï, ïðïõ Í= áêåñáéïò êáé èåôéêïò êáé Í>1.


ÐÏÑÉÓÌÁ: Óôï åðéðåäï êáé áðï åíá óçìåéï Ì, ðïõ âñéóêåôáé óôï åóùôåñéêï åíïò êõñôïõ åõèõãñáììïõ ó÷çìáôïò ð.÷ í-ðëåõñïõ, äåí öåñåôáé ðïôå ðáñáëëçëïò ðñïò ôçí ðåñéìåôñï ôïõ.

ÐÏÑÉÓÌÁ: Óôï åðéðåäï êáé áðï åíá óçìåéï Ì, ðïõ âñéóêåôáé óôï åîùôåñéêï åíïò êõñôïõ åõèõãñáììïõ ó÷çìáôïò ð.÷ í-ðëåõñïõ,  öåñåôáé, ðáíôïôå, ìéá êáé ìïíï ìéá  ðáñáëëçëïò ðñïò ôçí ðåñéìåôñï ôïõ, ç ïðïéá åéíáé ðáíôïôå, ìéá êëåéóôç ãñáììç.

ÐÏÑÉÓÌÁ:Óôï åðéðåäï êáé áðï åíá óçìåéï Ì, ðïõ âñéóêåôáé åêôïò ìéáò åõèåéáò ÷÷', öåñïíôáé:
1. Ìéá  ìïíï  ðáñáëëçëïò ðñïò áõôç (êáé ìáëéóôá åõèåéá ãñáììç. Ôï ãíùóôï Åõêëåéäåéï áéôçìá).
2. Åáí ç åõèåéá ÷÷' "ðåñéïñéóèåé" óå åíá êëåéóôï åõèõãñáììï ôìçìá [ÁÂ], ôïôå, áðï ôï óçìåéï Ì, öåñïíôáé  áðåéñåò ðáñáëëçëåò  êáé åî áõôùí ìïíï ìéá ðáñáëëçëïò åéíáé êëåéóôç, êáé
3. Åáí, ôá áêñá Á, Â ôïõ êëåéóôïõ áõôïõ åõèõãñáììïõ ôìçìáôïò [ÁÂ], óõìðåóïõí (ÁÎÂ), ôïôå áðï ôï óçìåéï Ì, öåñïíôáé áðåéñåò ðáñáëëçëåò ðñïò ôï ôï óçìåéï ÁÎÂ êáé ìéá ìïíï êëåéóôç (äçë. ç ðåñéöåñåéá êõêëïõ ðïõ ãñáöåôáé ìå êåíôñï ôï óçìåéï Ê êáé áêôéíá ÊÌ.

.........................................................................................
...........................................................................................
                                       ê.ï.ê
ãéá äéáöïñá áëëá èåùñçìáôá êáé ðïñéóìáôá ðïõ ìðïñïõìå íá äéáôõðùóïõìå.

                                ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ

1. ÐÑÏÓÏ×Ç! Äéäåôáé óôï ÷ùñï ìéá åõèåéá ÷÷' êáé åíá óçìåéï Ì åêôïò áõôçò, ôïôå áðï ôï óçìåéï Ì, öåñïíôáé áðåéñåò ðáñáëëçëåò (åðéöáíåéåò) ðñïò ôçí åõèåéá ÷÷'.

2. Áðï åíá óçìåéï Ì, ðïõ âñéóêåôáé óôï åóùôåñéêï ìéá ðõñáìéäáò, êõâïõ, ôåôñáåäñïõ, ê.ë.ð äåí öåñåôáé ðïôå ðáñáëëçëïò ðñïò ôéò ðëåõñåò ôïõò.

3. Áðï åíá óçìåéï Ì, ðïõ âñéóêåôáé óôï åóùôåñéêï åíïò êõêëïõ, åëëåéøçò, ðáñáâïëçò ç õðåñâïëçò (êùíéêçò ãåíéêá), öåñåôáé (ï÷é ðáíôïôå) ìéá êáé ìïíï ìéá ðáñáëëçëïò ðñïò áõôç, êëåéóôç ç áíïéêôç.

4. Óôï åðéðåäï å÷ïõìå åíá êõêëï êáé åíá óçìéï Ì (åêôïò ç åíôïò ôïõ êõêëïõ), ôïôå áðï ôï ôï óçìåéï Ì äåí öåñåôáé ðïôå, êáìéá ðáñáëëçëïò ðñïò ôï åóùôåñéêï ôïõ êõêëïõ.

5. Äõï óçìåéïóõíïëá Á êáé Â åéíáé, ðáñáëëçëá ìåôáîõ ôïõò.
    Åíá ôñéôï óçìåéïóõíïëï Ã åéíáé ðáñáëëçëï ðñïò ôï óçìåéïóõíïëï Á. Óôçí ðåñéðôùóç áõôç, ôá óçìåéïóõíïëá Á, Â, Ã äåí åéíáé ðáíôïôå êáé ðáñáëëçëá ìåôáîõ ôïõò.
Ðïôå ïìùò åéíáé êáé ðïôå äåí åéíáé, ðáñáëëçëá ìåôáîõ ôïõò?
(Áóêçóç ãéá ôïí áíáãíùóôç)

6. Äõï ôïðïëïãéêåò åðéöáíåéåò äéáöïñåôéêïõ ãåíïõò äåí ìðïñåé ðïôå íá åéíáé ðáñáëëçëåò ìåôáîõ ôïõò (ð.÷ åíáò ôïññïò (óáìðñåëëá) êáé ìéá óöáéñá.

7. Ïé êïñõöåò Á,Â,Ã,Ä åíïò êáíïíéêïõ ôåôñáåäñïõ åíáé ðáíôïôå ðáñáëëçëåò ìåôáîõ ôïõò, êáè ïëïõò ôïõò äõíáôïõò óõíäõáóìïõò  åáí ôéò ðáñïõìå êáé ó÷çìáôéóïõìå ôá áíôïéóôïé÷á ìç- óõíåêôéêá óçìåéïóõíïëá.
Áõôï óõìâáéíåé ãéá êáðïéï áëëï óôåñåï ó÷çìá?

8. Ìéá åëéêá (óðåéñá) ð.÷ áõôç ôïõ Áñ÷éìçäç, äå÷åôáé  ðáñáëçëç óðåéñá?

9. Ïëåò ïé ëåéåò êáé êáôá ôïîï óõíåêôéêåò êáìðõëåò (êëåéóôåò ç áíïéêôåò),  äåí äå÷ïíôáé ðáíôïôå ðáñáëëçëï.
Ðïôå ïìùò äå÷ïíôáé êáé ðïôå äåí äå÷ïíôáé? Íá âñåèåé ç óõíèçêç.
(Áóêçóç ãéá ôïí áíáãíùóôç)

..........................................................................................
..........................................................................................
                                    ê.ï.ê
êáé ãéá äéáöïñá ðïëëá áëëá ðáñáäåéãìáôá ðïõ ìðïñïõìå íá áíáöåñïõìå.......

(ÓÕÍÅ×ÉÆÅÔÁÉ.......)

Date: 10:25 Mar 26, 2006

Óõíå÷åéá áðï óåëéäá 2                                      Óåëéäá 3

                               Ç ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÇ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ

                                 ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÁ  Ó×ÇÌÁÔÁ

Áò ðáñïõìå ãéá ëïãïõò áðëïôçôáò ôçí Åõêëåéäåéá Ãåùìåôñéá ôïõ åðéðåäïõ.
Ïðùò åéíáé ãíùóôï, åíá åõèõãñáììï ó÷çìá(êõñôï)  ïñéæåôáé áðï ôéò êïñõöåò ôïõ Á, Â, Ã,....Í
Óôçí Åõêëåéäåéï Ãåùìåôñéá ïé êïñõöåò áõôåò, åéíáé ãåùìåôñéêá óçìåéá (óçìåéïóõíïëá ìïíïìåëç). Áíôéèåôá óôç Ãåíéêåõìåíç Ãåùìåôñéá ïé êïñõöåò  ôùí ãåíéêåõìåíùí  ó÷çìáôùí, ìðïñåé íá åéíáé, ïðïéïäçðïôå óçìåéïóõíïëï (óõíåêôéêï ç ìç óõíåêôéêï) ð.÷ Êõêëïò, åëëåéøç, ðáñáâïëç, åõèõãñáììï ôìçìá, ê.ë.ð.

Áò ðáñïõìå ôùñá óôï åðéðåäï, ìéá åëëåéøç Á, åíá êõêëï Â êáé ìéá ðáñáâïëç Ã, ôá ïðïéá ïõôå íá ôåìíïíôáé áëëá ïõôå êáé íá åöáðôïíôáé ìåôáîõ ôïõò.
Óôç Ãåíéêåõìåíç Ãåùìåôñéá, ôá ôñéá áõôá óçìåéïóõíïëá Á, Â, Ã, ïñéæïõí åíá Ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ÁÂÃ.
Óõãêåêñéììåíá:

1. ÐËÅÕÑÅÓ.
Ç áðïóôáóç ìåôáîõ ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Á êáé ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Â, ïñéæïõí ôçí ðëåõñá ã ôïõ Ãåíéêåõìåíïõ áõôïõ ôñéãùíïõ ÁÂÃ.
Ïìïéùò, ç áðïóôáóç ìåôáîõ ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Â êáé ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Ã, ïñéæïõí ôçí ðëåõñá á ôïõ Ãåíéêåõìåíïõ áõôïõ ôñéãùíïõ ÁÂÃ.
Ôåëïò, ç áðïóôáóç ìåôáîõ ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Ã êáé ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Á, ïñéæïõí ôçí ðëåõñá â ôïõ Ãåíéêåõìåíïõ áõôïõ ôñéãùíïõ ÁÂÃ.
2. ÄÉÁÌÅÓÏÉ.
Ç áðïóôáóç áðï ôï óçìåéïóõíïëï Á êáé ôï ìåóïí Ì ôçò ðëåõñáò á ïñéæåé ôçí äéáìåóï ì(á).
Ïìïéùò , ç  áðïóôáóç áðï ôï óçìåéïóõíïëï Â  êáé ôï ìåóïí Ì' ôçò ðëåõñáò â ïñéæåé ôçí äéáìåóï ì(â).
Ôåëïò, ç  áðïóôáóç áðï ôï óçìåéïóõíïëï Ã  êáé ôï ìåóïí Ì'' ôçò ðëåõñáò ã ïñéæåé ôçí äéáìåóï ì(ã).
3. ÕØÇ.
Ç áðïóôáóç áðï ôï óçìåéïóõíïëï Á êáé ôçí  ðëåõñá á ïñéæåé ôï õøïò  õ(á).
Ïìïéùò, ç áðïóôáóç áðï ôï óçìåéïóõíïëï Â êáé ôçí  ðëåõñá â ïñéæåé ôï õøïò  õ(â).
Ôåëïò, ç áðïóôáóç áðï ôï óçìåéïóõíïëï Ã êáé ôçí  ðëåõñá ã ïñéæåé ôï õøïò  õ(ã).
4. ÃÙÍÉÅÓ.
Ïé ðëåõñåò â êáé ã ðñïåêôåéíïìåíåò, ïñéæïõí ôç ãùíéá Á.
Ïé ðëåõñåò ã êáé á ðñïåêôåéíïìåíåò, ïñéæïõí ôç ãùíéá Â.
Ïé ðëåõñåò á êáé â ðñïåêôåéíïìåíåò, ïñéæïõí ôç ãùíéá Ã.
5. ÄÉ×ÏÔÏÌÏÉ.
Ôï åõèõãñáììï ôìçìá(ï÷é õðï÷ñåùôéêá áðïóôáóç),  ðïõ ðåñéå÷åôáé ìåôáîõ ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Á êáé ôçò ðëåõñáò á êáé êåéôáé åðé ôçò äé÷ïôïìïõ ôçò ãùíéáò Á, ïñéæåôáé ùò ç äé÷ïôïìïò  ä(á).
Ïìïéùò, ôï åõèõãñáììï ôìçìá (ï÷é õðï÷ñåùôéêá áðïóôáóç),ðïõ ðåñéå÷åôáé ìåôáîõ ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Â êáé ôçò ðëåõñáò â  êáé êåéôáé åðé ôçò äé÷ïôïìïõ ôçò ãùíéáò Â, ïñéæåôáé ùò ç äé÷ïôïìïò  ä(â).
Ôåëïò,ôï åõèõãñáììï ôìçìá (ï÷é õðï÷ñåùôéêá áðïóôáóç),ðïõ ðåñéå÷åôáé ìåôáîõ ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Ã êáé ôçò ðëåõñáò ã  êáé êåéôáé åðé ôçò äé÷ïôïìïõ ôçò ãùíéáò  Ã , ïñéæåôáé ùò ç äé÷ïôïìïò  ä(ã).
6. ÅÌÂÁÄÏÍ.
Ôï ÷ùñéï ôï ïðïéï ðåñéå÷åôáé, ìåôáîõ ôùí óçìåéïóõíïëùí Á, Â, Ã  êáé ôùí ðëåõñùí á, â, ã ïñéæåôáé, ùò åìâáäïí Å .
7. ÅÃÃÅÃÑÁÌÌÅÍÏÓ ÊÕÊËÏÓ.
Ï Êõêëïò ôïõ ïðïéïõ ç ðåñéöåñåéá  åöáðôåôáé êáé ôùí ôñéùí ðëåõñùí á, â, ã ïñéæåôáé ùò åããåãñáììåíïò êõêëïò.
8. ÐÅÑÉÃÅÃÑÁÌÌÅÍÏÓ ÊÕÊËÏÓ.
Ï Êõêëïò ôïõ ïðïéïõ êáé ïé ôñåéò ðëåõñåò á, â, ã åéíáé ÷ïñäåò ôïõ ïñéæåôáé, ùò ðåñéãåãñáììåíïò êõêëïò.

Ìåôá ôïõò ïñéóìïõò áõôïõò ðïõ äùóáìå ðáñáðáíù èá ðñåðåé íá ôïíéóïõìå ïôé:
Óå åíá  ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ÁÂÃ, åáí ð.÷ ç ãùíéá  ôïõ Á åéíáé ïñèç, ïíïìáæåôáé ïñèïãùíéï. Åáí, êáé ïé ôñåéò ðëåõñåò ôïõ á, â, ã åéíáé éóåò èá ïíïìáæåôáé éóïðëåõñï. Åáí ïé äõï ðëåõñåò ôïõ åéíáé éóåò èá ïíïìáæåôáé éóïóêåëåò, ê.ï.ê

Åðéóçò åíá ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï, ìðïñåé íá å÷åé ðåñéóóïôåñáò áðï ôñéá õøç, äéáìåóïõò, äé÷ïôïìïõò, ê.ë.ð êáé áõôï åîáñôáôáé áðï ôï åéäïò ôùí óçìåéïóõíïëùí Á, Â, Ã êáé ôçí ìåôáîõ ôïõò èåóç óôï åðéðåäï.

Åðéóçò, óå åíá ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ìðïñåé êáé ïé ôñåéò  ðëåõñåò  ôïõ á, â, ã íá åéíáé 0, çôïé íá åéíáé á=0, â=0,ã=0 êáé íá å÷åé åìâáäï Å, ðïõ íá åéíáé Å>0, ïðùò ð.÷ óå åíá ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ÁÂÃ ôïõ ïðïéïõ ïé êïñõöåò ôïõ Á, Â, Ã íá åéíáé ð.÷ êáìðõëåò åöáðôïìåíåò åîùôåñéêùò ìåôáîõ ôïõò, ïðïôå óôçí ðåñéðôùóç áõôç ïé ðëåõñåò ôïõ åéíáé á=0, â=0, ã=0 êáé ôï åìâáäï ôïõ åéíáé Å>0, óõìöùíá ìå ôïí ïñéóìï ðïõ áíáöåñáìå ðáñáðáíù.

Ïìùò åêåéíï ðïõ ðñåðåé íá ôïíéóïõìå åéíáé ôï ãåãïíïò ïôé, ôá äéáöïñá èåùñçìáôá, ðïñéóìáôá, ê.ë.ð ðïõ áöïñïõí ôá ãåíéêåõìåíá ôñéãùíá (êáé ãåíéêùò ôá ãåíéêåõìåíá ó÷çìáôá), åéíáé ãåíéêåõóç ôùí ãíùóôùí èåùñçìáôùí, ðïñéóìáôùí, ê.ë.ð ðïõ óçìåñá ãíùñéæïõìå. Ìå ôçí åííïéá ïôé, åáí ïëåò ïé êïñõöåò ôùí ãåíéêåõìåíùí ó÷çìáôùí, êáôáóôïõí óçìåéïóõíïëá ìïíïìåëç äçëáäç ãåùìåôñéêá óçìåéá, ôïôå ðñïêõðôïõí áìåóùò  ôá áíôéóôïé÷á èåùñçìáôá ðïñéóìáôá, ê.ë.ð ðïõ óçìåñá ãíùñéæïõìå.
Ðáñáäåéãìá, óå åíá ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ÁÂÃ ôá ôñéá õøç ôïõ õ(á). õ(â), õ(ã), ìðïñåé íá ìç äéåñ÷ïíôáé áðï ôï áõôï óçìåéï (ôï ïñèïêåíôñï), áëëá ïìùò, åáí  ïé êïñõöåò Á, Â, Ã ôïõ Ãåíéêåõìåíïõ áõôïõ  ôñéãùíïõ ÁÂÃ êáôáóôïõí óçìåéïóõíïëá ìïíïìåëç, äçëáäç ãåùìåôñéêá óçìåéá, ôïôå ôá ôñéá áõôá õøç èá äéåñ÷ïíôáé áðï ôï áõôï óçìåéï, ïðïôå å÷ïõìå ôï ãíùóôï ìáò èåùñçìá. Êáé ïõôù êáè  åîçò,  êáé ãéá äéáöïñá ðïëëá áëëá ðáñáäåéãìáôá ðïõ ìðïñïõìå íá áíáöåñïõìå.

Åðéóçò, ãåíéêåõìåíá ó÷çìáôá ìðïñïõìå íá å÷ïõìå ðñïöáíùò êáé óå ïðïéïíäçðïôå Åõêëåéäåéï ç ìç Åõêëåéäåéï ÷ùñï, ïóùíäçðïôå äéáóôáóåùí.
Åôóé ð.÷, ìðïñïõìå íá å÷ïõìå åíá ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ÁÂÃ , ïðïõ ôá óçìåéïóõíïëá Á, Â, Ã íá åéíáé óôçí åðéöáíåéá ìéáò óöáéñáò (ç  åëëåéøïåéäïõò, ðáñáâïëïåéäïõò, ê.ë.ð,)  ïðïôå óôçí ðåñéðôùóç áõôç, å÷ïõìå åíá ãåíéêåõìåíï óöáéñéêï ôñéãùíï ÁÂÃ, ôïõ ïðïéïõ ð.÷ ïé ðëåõñåò  á, â, ã åéíáé ôùñá ïé ãåùäáéóéáêåò ãñáììåò,  ðïõ óõíäåïõí ôá óçìåéïóõíïëá Á, Â, Ã ìåôáîõ ôïõò.

Ôåëïò, åáí áó÷ïëçèïõìå ìå ôçí åñåõíá êáé ôç ìåëåôç ôùí ãåíéêåõìåíùí ó÷çìáôùí, (ïðùò áõôá ïñéóèçêáí ðáñáðáíù), ìðïñïõìå íá äéáôõðùóïõìå, ðëçèïò èåùñçìáôùí, ðïñéóìáôùí, éäéïôçôùí, ê.ë.ð  ðïõ å÷ïõí ó÷åóç ìå ôá ãåíéêåõìåíá ó÷çìáôá.
Ï ôïìåáò áõôïò, åéíáé ðáñá ðïëõ ìåãáëïò áðï áðïøçò ìáèçìáôéêçò åñåõíáò.

ÓÕÍÅ×ÉÆÅÔÁÉ....

Date: 02:07 Mar 28, 2006

Óõíå÷åéá áðï óåëéäá 3                                       Óåëéäá 4

                                ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÇ  ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ

                            ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÁ ÊÕÑÔÁ ÐÏËÕÃÙÍÁ

Áò õðïèåóïõìå ïôé, óôï åðéðåäï å÷ïõìå ôåóóåñá  ïðïéáäçðïôå óçìåéïóõíïëá Á, Â, Ã, Ä ð.÷ åíá êõêëï Á, ìéá åëëåéøç Â, ìéá åõèåéá Ã êáé åíá óçìåéï Ä, (ôá ïðïéá èåùñïõìå ãéá ëïãïõò áðëïôçôáò, ôï êáèåíá  íá ìç  ðåñéå÷åôáé åíôïò ôïõ áëëïõ, ïõôå êáé åöáðôïíôáé ìåôáîõ ôïõò).
Ôá ôåóåñá áõôá óçìåéïóõíïëá Á, Â, Ã, Ä ïñéæïõí ôç èåóç åíïò Ãåíéêåõìåíïõ ôåôñáðëåõñïõ ÁÂÃÄ.

Óõãêåêñéìåíá:
1. ÊÏÑÕÖÅÓ.
Ôá óçìåéïóõíïëá Á, Â, Ã, Ä åéíáé ïé êïñõöåò ôïõ.
2. ÐËÅÕÑÅÓ.
Ç áðïóôáóç ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Á áðï ôï óçìåéóõíïëï Â, ïñéæåé ôçí ðëåõñá á.
Ç áðïóôáóç ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Â áðï ôï óçìåéóõíïëï Ã, ïñéæåé ôçí ðëåõñá â.
Ç áðïóôáóç ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Ã áðï ôï óçìåéóõíïëï Ä, ïñéæåé ôçí ðëåõñá ã.
Ç áðïóôáóç ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Ä áðï ôï óçìåéóõíïëï Á, ïñéæåé ôçí ðëåõñá ä.
3. ÃÙÍÉÅÓ.
Ïé ðñïåêôáóåéò ôùí ðëåõñùí á êáé ä, ïñéæïõí ôçí ãùíéá Á.
Ïé ðñïåêôáóåéò ôùí ðëåõñùí á êáé â, ïñéæïõí ôçí ãùíéá Â.
Ïé ðñïåêôáóåéò ôùí ðëåõñùí â êáé ã, ïñéæïõí ôçí ãùíéá Ã.
Ïé ðñïåêôáóåéò ôùí ðëåõñùí ã êáé ä, ïñéæïõí ôçí ãùíéá Ä
4. ÄÉÁÃÙÍÉÏÉ
Ç áðïóôáóç ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Á áðï ôï óçìåéóõíïëï Ã, ïñéæåé ôçí äéáãùíéï ÁÃ.
Ç áðïóôáóç ôïõ óçìåéïóõíïëïõ Â áðï ôï óçìåéóõíïëï Ä, ïñéæåé ôçí äéáãùíéï ÂÄ.
5.ÄÉÁÌÅÓÏÉ.
Ôï ìåóïí Ì ôçò ðëåõñáò á êáé ôï ìåóïí Ì' ôçò ðëåõñáò ã, ïñéæïõí ôç äéáìåóï ÌÌ'.
Ôï ìåóïí Í ôçò ðëåõñáò ä êáé ôï ìåóïí Í' ôçò ðëåõñáò â, ïñéæïõí ôç äéáìåóï ÍÍ'.
6. ÅÌÂÁÄÏÍ.
Ôï ÷ùñéï ôï ïðïéï ðåñéå÷åôáé ìåôáîõ ôùí ðëåõñùí á, â, ã, ä êáé ôùí óçìåéïóõíïëùí Á, Â, Ã, Ä ïñéæïõí ôï åìâáäï Å.
7.ÐÅÑÉÌÅÔÑÏÓ.
Ôï óõíïñï ôïõ ÷ùñéïõ ðïõ ïñéæåé ôï åìâáäïí, åéíáé ç ðåñéìåôñïò.

Êáô áíôéóôïé÷éá, ìå ôïõò ïñéóìïõò ôçò Åõêëåéäåéáò Ãåùìåôñéáò, å÷ïõìå ãåíéêåõìåíá êõñôá, ç ìç êõñôá ðïëõãùíá, êáèùò êáé ãåíéêåõìåíá ôåôñáãùíá, ñïìâïõò, ðáñáëëçëïãñáììá, ôñáðåæéá,ê.ë.ð

Ïôáí óå åíá êõñôï ãåíéêåõìåíï í-ðëåõñï, ïëåò ïé ðëåõñåò ôïõ êáé ïëåò ïé ãùíéåò ôïõ åéíáé éóåò, ôïôå áõôï ôï ïíïìáæïõìå, ãåíéêåõìåíï êáíïíéêï ðïëõãùíï, çôïé, ãåíéêåõìåíï êáíïíéêï ðåíôáãùíï, åîáãùíï, ê.ï.ê.

Åðéóçò èá ðñåðåé íá ôïíéóïõìå ïôé, ãåíéêåõìåíá ðïëõãùíá ìðïñïõìå íá å÷ïõìå óôï ÷ùñï ç åðáíù óå åðéöáíåéåò êáé ãåíéêùò óå äéáöïñïõ Åõêëåéäåéïõò êáé ìç Åõêëåéäåéïõò ÷ùñïõò, ïóùíäçðïôå äéáóôáóåùí.
Ôåëïò , ï ôïìåáò ôùí ãåíéêåõìåíùí ðáñïõóéáæåé éäéáéôåñï åíäéáöåñïí áðï áðïøçò ìáèçìáôéêçò åñåõíáò.

               ÊÁÔÇÃÏÑÉÅÓ  ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÙÍ  Ó×ÇÌÁÔÙÍ

Óôç Ãåíéêåõìåíç Ãåùìåôñéá, ïëá ôá ãåíéêåõìåíá ãåùìåôñéêá ó÷çìáôá, ÷ùñéæïíôáé óå äõï ìåãáëåò êáôçãïñéåò, çôïé:

1. ÊÁÔÇÃÏÑÉÁ ÔÙÍ ÌÇ ÐÁÑÁËËÇËÙÍ Ó×ÇÌÁÔÙÍ, êáé

2. ÊÁÔÇÃÏÑÉÁ ÔÙÍ  ÐÁÑÁËËÇËÙÍ Ó×ÇÌÁÔÙÍ.

Ïëá ôá ãåíéêåõìåíá ó÷çìáôá ðïõ áíáöåñáìå óôá ðñïçãïõìåíá êåöáëáéá, çôáí  ÌÇ ÐÁÑÁËËÇËÁ ãåíéêåõìåíá ó÷çìáôá.

Ç êáôçãïñéá ôùí ÐÁÑÁËËÇËÙÍ Ó×ÇÌÁÔÙÍ., å÷åé ùò åîçò:

Áò ðáñïõìå óôï åðéðåäï, åíá "êëáóóéêï" ôñéãùíï ÁÂÃ.
Áðï åíá óçìåéï Ì åêôïò áõôïõ  ðïõ áðå÷åé áðïóôáóç d , öåñïõìå ôç  ìïíáäéêç êëåéóôç ðáñáëëçëï ãõñù áðï ôï ôñéãùíï ÁÂÃ.
Ç êëåéóôç áõôç ðáñáëëçëïò ðïõ èá ó÷çìáôéóèåé, åéíáé ìéá ìåéêôç ãñáììç, ç ïðïéá áðïôåëåéôá áðï åõèõãñáììá êáé áðï êáìðõëá ôìçìáôá.
Ôá êáìðõëá ôìçìáôá åéíáé ôñéá ôïí áñéèìï êáé åéíáé áíôéóôïé÷ùò, ôïîá êõêëùí,  ðïõ ãñáöïíôáé ìå êåíôñá ôá óçìåéá Á, Â, Ã êáé áêôéíá d.
Ôçí êëåéóôç ëïéðïí áõôç ðáñáëëçëï ðïõ öåñáìå ãõñù áðï ôï ôñéãùíï ÁÂÃ èá ôçí ïíïìáæïõìå, ãåíéêåõìåíï ðáñáëëçëï ôñéãùíï Á'Â'Ã'  ôïõ ôñéãùíïõ ÁÂÃ.

ÅÎ ÏÑÉÓÌÏÕ, ôï ãåíéêåõìåíï ðáñáëëçëï áõôï ôñéãùíï Á'Â'Ã' ðïõ ó÷çìáôéóáìå èá å÷åé ùò êïñõöåò  Á',Â',Ã' ôá ôñéá ôïîá êõêëïõ, ðïõ áíôéóôïé÷ïõí óôéò êïñõöåò Á, Â, Ã ôïõ áñ÷éêïõ ôñéãùíïõ ÁÂÃ.

Åôóé ëïéðïí, áöïõ ïñéóèçêáí ïé êïñõöåò Á',Â',Ã' ôïõ ãåíéêåõìåíïõ áõôïõ ôñéãùíïõ Á'Â'Ã', êáôá óõíåðåéá ìðïñïõìå ôùñá åõêïëá íá ïñéóïõìå, ïëá ôá õðïëïéðá äïìéêá óôïé÷åéá ôïõ ãåíéêåõìåíïõ áõôïõ ôñéãùíïõ Á'Â'Ã', äçëáäç, ðëåõñåò, õøç, äéáìåóïé, åìâáäï, ê.ë.ð.

Áñá ëïéðïí, ãéá êáèå ôñéãùíï êáé ãåíéêá ãéá êáèå êõñôï ðïëõãùíï (ôåôñáãùíï, ðáñáëëçëïãñáììï, åîáãùíï, äùäåêáãùíï, ê.ë.ð, ìðïñïõìå ìå ôïí ôñïðï ðïõ áíáöåñáìå ðáñáðáíù íá ó÷çìáôéóïõìå êáé ôï áíôéóôïé÷ï ãåíéêåõìåíï ðáñáëëçëï ó÷çìá ôïõò, öåñïíôáò ôç êëåéóôç ðáñáëëçëï ãõñù áðï áõôá áðï åíá óçìåéï Ì, ðïõ âñéóêåôáé åêôïò áõôùí êáé áðå÷åé áðïóôáóç d áðï áõôá.

Ôá ãåíéêåõìåíá ðáñáëëçëá ó÷õìáôá, ðáéæïõí óðïõäáéï ñïëï óôç Ãåíéêåõìåíç Ãåùìåôñéá, äéïôé áðïôåëïõí ôç "ãåöõñá" ìåôáîõ ôçò çäç ãíùóôçò Åõêëåéäåéïõ Ãåùìåôñéáò êáé ôçò Ãåíéêåõìåíçò Ãåùìåôñéáò.

Å÷ïíôáò ëïéðïí, ôï "æåõãïò"  ð.÷  ôïõ ôñéãùíïõ ÁÂÃ êáé ôïõ ãåíéêåõìåíïõ ôïõ  ðáñáëëçëïõ  ôñéãùíïõ Á'Â'Ã', ìðïñïõìå ôùñá, åñåõíùíôáò íá äéáôõðùóïõìå,  ðïëëá íåá èåùñçìáôá, ðïñéóìáôá, éäéïôçôåò, ê.ë.ð, ðïõ å÷ïõí ó÷åóç ìå ôç Ãåíéêåõìåíç Ãåùìåôñéá.

Åôóé ð.÷ ðáéñíïíôáò, åíá ïñèïãùíéï ôñéãùíï ÁÂÃ êáé ôï áíôéóôïé÷ï ôïõ ãåíéêåõìåíï ðáñáëëçëï ïñèïãùíéï ôñéãùíï Á'Â'Ã', ìðïñïõìå åñåõíùíôáò íá äéáôõðùóïõìå ðïëõ åíäéáöåñïíôá, èåùñçìáôá, ðïñéóìáôá, ê.ë.ð , êáé íá ðñïâïõìå ð.÷  óå ìéá åðåêôáóç ôïõ Ðõèáãïñåéïõ èåùñçìáôïò  (ãéá ôï ãåíéêåõìåíï ðáñáëëçëï ïñèïãùíéï ôñéãùíï Á'Â'Ã'),  ìå ôçí åííïéá ïôé, ïôáí ç áðïóôáóç d ãéíåé d=0 , ôïôå õðï÷ñåùôéêá èá ðñåðåé íá ðñïêõðôåé áìåóùò,  ç ãíùóôç  ìáò ìåôñéêç ó÷åóç ôïõ Ðõèáãïñåéïõ èåùñçìáôïò.

                        Áóêçóç ãéá ôïí áíáãíùóôç

Äéäåôáé óôï åðéðåäï åíá éóïðëåõñï ôñéãùíï ÁÂÃ ðëåõñáò á.
Áðï åíá óçìåé Ì, (åêôïò ôïõ ôñéãùíïõ), ðïõ áðå÷åé áðï ôï ôñéùíï ÁÂÃ áðïóôáóç d, ó÷çìáôéæïõìå ôï ãåíéêåõìåíï ðáñáëëçëï éóïðëåõñï ôñéãùíï Á'Â'Ã'.

Æçôåéôáé:  Íá âñåèïõí ïëá ôá óôïé÷åéá (ãùíéåò, ðëåõñåò, õøç, äéáìåóïé, äé÷ïôïìïé, ê.ë.ð ) ôïõ ôñéãùíïõ Á'Â'Ã', êáèùò êáé ï ëïãïò ôùí åìâáäùí ôùí ôñéãùíïõ ÁÂÃ  êáé  Á'Â'Ã'.

(Óçì. Åéíáé ìéá, ðáñá ðïëõ áðëç áóêçóç ãéá åîïéêåéùóç ôïõ áíáãíùóôç ìå ôç Ãåíéêåõìåíç Ãåùìåôñéá).

                ÁÍÁÃÙÃÁ ÊÁÉ ÌÇ ÁÍÁÃÙÃÁ  ÓÇÌÅÉÏÓÕÍÏËÁ

Ïñéóìïò: Åíá ïðïéïäçðïôå óçìåéïóõíïëï  Á èá ôï ïíïìáæïõìå áíáãùãï, ïôáí äåí õðáñ÷åé êáíåíá óçìåéï Ì  (ôïõ åðéðåäïõ ç ôïõ ÷ùñïõ)  áðï ôï ïðïéï íá ìðïñïõìå íá öåñïõìå ðáñáëëçëï ðñïò ôï óçìåéïóõíïëï Á.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ. Áíáãùãá óçìåéïóõíïëá, åéíáé ôá ðáñáêáôù:
1. Äõï ôåìíïìåíåò åõèåéåò å êáé å' ôïõ åðéðåäïõ.
2. Ãñáììåò "êïìâéêïõ" ôõðïõ, ð.÷ ôçò ìïñöçò  "Õ" ç "Ô"
3. Ãñáììåò, ïðùò ð.÷ ôçò ìïñöçò  "È" ç "Ì".
4. Åíá ìç êõñôï ðïëõãùíï, ê.ï.ê êáé ãéá áëëá ðïëëá óçìåéïóõíïëá.

Ïñéóìïò:Åíá ïðïéïäçðïôå óçìåéïóõíïëï  Á  èá ôï ïíïìáæïõìå ìç áíáãùãï, ïôáí  õðáñ÷åé  ôïõëá÷éóôï åíá óçìåéï Ì  (ôïõ åðéðåäïõ ç ôïõ ÷ùñïõ áðï ôï ïðïéï íá ìðïñïõìå íá öåñïõìå ðáñáëëçëï ðñïò ôï óçìåéïóõíïëï Á.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ.
1. Ìéá åõèåéá å ôïõ åðéðåäïõ ç ôïõ ÷ùñïõ.
2. Ìéá êùíéêç (êõêëïò, åëëåéøç, ðáñáâïëç)
3. Ìéá çìéôïíïåéäçò êáìðõëç.
4. Ìéá ãùíéá ÷ïø.
5. Åíá ôñéãùíï ÁÂÃ, ê.ï.ê êáé ãéá äéáöïñá áëëá ðïëëá óçìåéïóõíïëá.

ÉÓÏÔÇÓ ÊÁÉ ÏÌÏÉÏÔÇÓ ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÙÍ ÅÕÈÕÃÑÁÌÌÙÍ Ó×ÇÌÁÔÙÍ

Ïñéóìïò; Äõï ãåíéêåõìåíá åõèõãñáììá ó÷çìáôá (ôñéãùíá, ôåôñáðëåõñá, ê.ë.ð) åéíáé éóá, ïôáí ïëá ôá óôïé÷åéá ôïõò åéíáé áíôéóôïé÷ùò éóá, åíá ðñïò åíá, êáé ôéèåìåíï ôï åíá åðé ôïõ áëëïõ íá ôáõôéæïíôáé.

Ïñéóìïò: Äõï ãåíéêåõìåíá åõèõãñáììá ó÷çìáôá (ôñéãùíá, ôåôñáðëåõñá, ê.ë.ð) åéíáé ïìïéá, ïôáí ïëá ôá ãñáììéêá óôïé÷åéá ôïõò åéíáé  ïìïéá,  åíá ðñïò åíá êáé ïé áíôéóôïé÷åò ãùíéåò ôïõò åéíáé, éóåò ìéá ðñïò ìéá.

(ÓÕÍÅ×ÉÆÅÔÁÉ)

Date: 02:24 Mar 30, 2006

                                   ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ
                      (Áóêçóåéò ãéá ôïí áíáãíùóôç)

Óêïðïò ôùí ðáñáäåéãìáôùí (áóêçóåùí)  ðïõ áêïëïõèïõí, åéíáé ï
áíãíùóôçò ëõíïíôáò áõôá íá áöïìïéùóåé êáé íá åìðåäùóåé ôéò åííïéåò ôçò íåáò áõôçò ãåùìåôñéáò, çôïé ôçò Ãåíéêåõìåíçò Ãåùìåôñéáò.
Ôá ðáñáäåéãìáôá ëïéðïí áõôá, å÷ïõí ùò åîçò:

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ  1.
Ôá óçìåéïóõíïëá (ïé ãñáììåò), ðïõ å÷ïõí ôç ìïñöç ôùí êåöáëáéùí ãñáììáôùí ôçò Åëëçíéêçò áëöáâçôïõ, ðïéá åéíáé áíáãùãá êáé ðïéá åéíáé ìç áíáãùãá óçìåéïóõíïëá?

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 2.
Ó÷çìáôéóáôå (10) ãåíéêåõìåíá ôñéãùíá ÁÂÃ ôùí ïðïéùí ïé êïñõöåò ôïõò Á, Â, Ã íá åéíáé äéáöïñá  óçìåéïóõíïëá (ðáñáëëçëá, ôåìíïìåíá, ç áóõìâáôá) êáé âñåéôå ïëá ôá óôïé÷åéá (ãùíéåò, ðëåõñåò, õøç, äéáìåóïé, äé÷ïôïìïé, åìâáäïí, ðåñéìåôñïò, ê.ë.ð), áõôùí.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 3.
Ó÷çìáôéóáôå (10)  êõñôá ãåíéêåõìåíá ðïëõãùíá  (5) êáíïíéêá êáé (5) ìç êáíïíéêá êáé âñåéôå ïëá ôá óôïé÷åéá (ãùíéåò, ðëåõñåò, äéáãùíéïé, äéáìåóïé, äé÷ïôïìïé, ðåñéìåôñïò, åìâáäïí, ê.ë.ð) áõôùí.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 4.Ó÷çìáôéóáôå áðï ìéá áðïóôáóç d ôá ðáñáêáôù, ðáñáëëçëá ó÷çìáôá:
1. Åíá ðáñáëëçëï éóïðëåõñï ôñéãùíï.
2. Åíá ðáñáëëçëï éóïóêåëåò ôñéãùíï.
3. Åíá ðáñáëëçëï ïñèïãùíéï ôñéãùíï.
4. Åíá ðáñáëëçëï ôåôñáãùíï.
5. Åíá ðáñáëëçëï ñïìâï.
6. Åíá ðáñáëëçëï êáíïíéêï åîáãùíï,
êáé âñåéôå ïëá ôá óôïé÷åéá áõôùí.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 5.
Äéäåôáé ìéá åëëåéøç ìå çìéáîïíåò a êáé b (a>b).
Æçôåéôáé, áðï ðïéá ðåñéï÷ç óôï åóùôåñéêï ôçò åëëåéøçò äåí ìðïñïõìå íá öåñïõìå ðáñáëëçëï ðñïò ôçí ðåñéöåñåéá ôçò?
Ôï éäéï íá åñåõíçèåé êáé ãéá ôç ðáñáâïëç y= x^2.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 6.
Ôï óçìåéïóõíïëï (öõëëï ôïõ Descartes)  ðïõ äéäåôáé áðï ôçí åîéóùóç, x^3 + y^3 = 3axy, åéíáé áíáãùãï ç ìç áíáãùãï óçìåéóõíïëï?
Ôï éäéï êáé ãéá ôï ëçìíéóêï, x^(2/3) + y^(2/3)  = a^(2/3).
Åðéóçò,ôï éäéï êáé ãéá ôçí õðåñâïëéêç óõíáñôçóç, y = tanhx.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 7.
Äéäåôáé óôï åðéðåäï êáé óôï óõóôçìá óõíôåôáãìåíùí ÷ïø ï êõêëïò :
A: x^2 + y^2 = 4^2.
H ðáñáâïëç:
B:  y = 10x^2, êáé
Ôï óçìåéï:
Ã: (15, 0).
Æçôåéôáé íá âñåèïõí ïëá ôá óïé÷åéá ôïõ ãåíéêåõìåíïõ ôñéãùíïõ ÁÂÃ.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 8.
Óôïí áîïíá ôùí ðñáãìáôéêùí áñéèìùí xx' íá âñåèïõí ïëá ôá óôïé÷åéá ôùí ãåíéêåõìåíùí ôñéãùíùí ÁÂÃ ðïõ å÷ïõí ùò êïñõöåò Á, Â, Ã ôá ðáñáêáôù óçìåéïóõíïëá:

1)    Á:   (-áðåéñï, - 2]

       B:   [3,8]

       Ã :  [10, + áðåéñï).

2)    Á:   [-10, -4]

       B:   [10, 15]

       Ã :   [25,40]

3)    Á:   (5, 10]

       B:   [12, 15]

       Ã:    [20, + áðåéñï)

4) ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 9.
Óôï åðéðåäï êáé óôï  óõóôçìá óõíôåôáãìåíùí ÷ïø íá âñåèïõí ïëá ôá óôïé÷åéá ôïõ ãåíéêåõìåíïõ ôñéãùíïõ ÁÂÃ ôïõ ïðïéïõ ç êáñõöç Á, åéíáé ç ðåñéöåñåéá åëëåéøçò êáé ïé êïñõöåò Â êáé Ã åéíáé ïé åóôéåò ôçò.
Ôé áëëáæåé óôï ðñïçãïõìåíï ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ÁÂÃ, åáí ç êïñõöç Â åéíáé ç ðåñéöåñåéá ôçò åëëåéøçò êáé ç êïñõöç Á åéíáé ç ìéá åóôéá ôçò?

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 10.
Óôïí áîïíá ôùí ðñáãìáôéêùí áñéèìùí xx' íá âñåèïõí ïëá ôá óôïé÷åéá ôùí ãåíéêåõìåíùí ôñéãùíùí ÁÂÃ ðïõ å÷ïõí ùò êïñõöåò Á, Â, Ã ôá ðáñáêáôù óçìåéïóõíïëá:

  1)   A:Ôï  áèñïéóìá S ôçò óåéñáò  S= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +.......

       B: Ôï áèñïéóìá S ôçò óåéñáò S = 10 + 1/10 + 1/20 + 1/ 30 + ..

       Ã:  Ôï áèñïéóìá S ôçò óåéñáò S = -5 + (-5)/2 + (-5)/3 + (-5)/4 +.......

   2)   Á : Ôï óõíïëï ôùí ïñùí ôçò áêïëïõèéáò ìå ãåíéêï ïñï :
              á(í) =  1 - 10í

        Â:   Ôï óõíïëï ôùí ïñùí ôçò áêïëïõèéáò ìå ãåíéêï ïñï :
              á(í) = 1 - 1/í^2

         Ã :  Ôï óõíïëï ôùí ïñùí ôçò áêïëïõèéáò ìå ãåíéêï ïñï :
              á(í) = 12í^2 +1

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 11.
Ëáìâáíïõìå åíá "êëáóóéêï" êáíïíéêï åîáãùíï ÁÂÃÄÅÆ ðëåõñáò á.
Äéáôçñïõìå ôçí ðñùôç ôçí ôñéôç êáé ôçí ðåðôç ðëåõñá ôïõ. Ôéò õðïëïéðåò ôéò äéáãñáöïõìå (ôéò "ðåôáìå" ).
Óôï ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ôùí ôñéùí ðëåõñùí ðïõ áðåìåéíå íá âñåèïõí ïëá ôá óôïé÷åéá ôïõ.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 12.
Ôçí ðåñéöåñåéá ìéáò åëëåéøçò ôçí äéáéñïõìå óå ôåóåñá éóá ôïîá.
Äéáôçñïõìå ôï ðñùôï ôï ôï ôñéôï ôï ðåìðôï êáé ôï åâäïìï ôïîï. Ôá õðïëïéðá ôïîá ôá äéáãñáöïõìå (ôá "ðåôáìå" ).
Óôï ãåíéêåõìåíï ôåôñáðëåõñï ôùí ôåóáñùí ôïîùí ðïõ áðåìåéíå íá âñåèïõí ïëá ôá óôïé÷åéá ôïõ.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 13.
Äéäåôáé ç åîéóùóç  á÷^2 + â÷ +ã = 0  ìå  äõï èåôéêåò   ñéæåò ÷ êáé ÷',(÷<÷').
Óôïí áîïíá ôùí ðñáãìáôéêùí áñéèìùí ××',  ôïðïèåôïõìå ôçí ñéæá ÷,ôçí ñéæá ÷' ôï áèñïéóìá ÷+÷' êáé ôï ãéíïìåíï ÷÷'.
Óôï ãåíéêåõìåíï ôåôñáðëåõñï  ÁÂÃÄ ðïõ ðñïåêõøå, ïðïõ Á = ÷, Â = ÷',  Ã = ÷+÷' êáé Ä = ÷÷' íá âñåèïõí ïëá ôá óôïé÷åéá ôïõ.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁ 14.
Óôçí Õäñïãåéï óöáéñá èåùñïõìå ôéò ÷ùñåò Á (ÅËËÁÄÁ), Â(ÂÑÁÆÉËÉÁ), Ã(ÊÁÍÁÄÁÓ).
Æçôåéôáé, óôï óöáéñéêï ãåíéêåõìåíï ôñéãùíï ÁÂÃ íá âñåèïõí ïëá ôá óôïé÷åéá ôïõ.

...............................................................................................
                                ê.ë.ð
ðáñá ðïëëá áëëá ðáñáäåéãìáôá ðïõ ìðïñïõìå íá áíáöåñïõìå.

                                  ÅÐÉËÏÃÏÓ

Ìå ïëá ïóá,áíáöåñáìå  óôéò ðñïçãïõìåíåò óåëéäåò, çôáí ìéá ìéêñç ðåñéëçøç ôùí âáóéêùí åííïéùí ôçò Ãåíéêåõìåíçò Ãåùìåôñéáò.
Ôï ðáñá ðïëõ åíäéáöåñïí êåöáëáéï ðïõ áöïñá ôïõò ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÏÕÓ ÌÅÔÑÉÊÏÕÓ ÅÕÊËÅÉÄÅÉÏÕÓ ÊÁÉ ÌÇ ÅÕÊËÅÉÄÅÉÏÕÓ ×ÙÑÏÕÓ èá óõìðåñéëçöèåé óôç íåá åêäïóç ôïõ âéâëéïõ ôçò Ãåíéêåõìåíçò Ãåùìåôñéáò ðïõ èá êõêëïöïñçóåé ðñïóå÷ùò.
H  Ãåíéêåõìåíç Ãåùìåôñéá åéíáé, åíáò êáéíïõñãéïò êëáäïò ôçò Ìáèçìáôéêçò Åðéóôçìçò ìå áðåñéïñéóôï ÷ùñï åñåõíáò êáé ìåëåôçò, áíïéãïíôáò íåïõò ïñéæïíôåò óôç ìáèçìáôéêç óêåøç.

Ôåëïò èåëù íá åõ÷áñéóôçóù ôï www.physics4u.gr ãéá ôç öéëïîåíéá ðïõ ìïõ ðñïóåöåñå êáé ÏËÏÕÓ ôïõò åðéóêåðôåò áõôïõ ôïõ Ôhreed.

Ç "ÃÅÍÉÊÅÕÌÅÍÇ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ"
Copyright 2006: Christos A. Tsolkas

Date: 04:15 Apr 1, 2006

Χωρίς διάθεση αν σας προβοκάρω, καθαρά από περιέργεια.

Κύριε Τσόλκα αλήθεια πως στηρίζετε οικονομικά τις εκδόσεις αυτές;;;

Δεν θα ηταν σοφρωνέστερο να μαζεύετε τα χρήματα, με σκοπό την διεξαγωγή των πειραμάτων σας.

Αν πάλι πουλάνε τόσο πολύ τα βιβλία σας ώστε να μην χρειάζεται στήριξη από την πλευρά σας το εκδορικό έργο ένας λόγος παραπάνω να βάλετε και κάτι στην άκρη...

Σκεφτείτε και τους κακομοίρηδες τους σκηνοθέτες που για να γυρίσουν την πρώτη τους ταινία ξεπουλάνε περιουσίες και υποθηκεύουν ακίνητα. Όποιος πιστέυει στο όνειρό του το ακολουθεί μέχρι τέλους.

BTW Σωστή επιχειρηματική κίνηση στα πρότυπα τωνμεγάλων εκδοτικών οίκων. Δημοσιέυετε το πρώτο καιφάλαιο του βιβλίου σας ώστε να ιντριγκάρετε τον αναγνώστη.