Η "ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ", που θα αναπτυξουμε στα παρακατω κεφαλαια, ειναι μια πολυ μικρη περιληψη ολων αυτων που αναφερονται στο βιβλιο, Η "ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ" (Χρηστου Α. Τσολκα) το οποιο θα κυκλοφορησει προσεχως σε νεα εκδοση. Η "ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ", ειναι μια επεκταση των Ευκλειδειων και μη Ευκλειδειων Γεωμετριων, καθως και μια επεκταση των Ευκλειδειων και μη Ευκλειδειων χωρων. Η "ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ", καλυπτει ενα μεγαλο μερος των Μαθηματικων απο αποψης μαθηματικης ερευνας (νεα θεωρηματα, πορισματα, ιδιοτητες, ορισμοι, κ.λ.π) και παρουσιαζει, ιδιαιτερο ενδιαφερον η μελετη της νεας αυτης Γεωμετριας.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Ορισμος: Δυο οποιαδηποτε σημειοσυνολα Α και Β ειναι παραλληλα, τοτε και μονο τοτε, εαν ολα τα σημεια του σημειοσυνολου Α εχουν απο το σημειοσυνολο Β την ιδια αποσταση d και αντιστροφως, ολα τα σημεια του σημειοσυνολου Β εχουν απο το σημειοσυνολο Α, παλι την ιδια αποσταση d.
Σημειωση: Τα σημεισυνολα που αναφεραμε παραπανω, μπορει να ειναι μονομελη, πολυμελη, συνεκτικα, μη συνεκτικα κ.λ.π
Α. ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΗΜΕΙΟΣΥΝΟΛΑ
Συμφωνα λοιπον, με το παραπανω αυτο ορισμο, ειναι παραλληλα: 1. Δυο σημεια Α και Β του επιπεδου. 2. Τα ακρα Α και Β, ενος κλειστου ευθυγραμμου τμηματος [ΑΒ]. 3. Το κεντρο Κ ενος κυκλου και η περιφερεια του C. 4. Οι απεναντι πλευρες(τα ευθυγραμμα τμηματα) [ΑΒ] και [ΓΔ], ενος τετραγωνου ΑΒΓΔ. ΠΡΟΣΟΧΗ! Οι απεναντι πλευρες(τα ευθυγραμμα τμηματα) [ΑΒ] και [ΓΔ], ενος παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ σημειοσυνολα. 6. Οι περιφερειες C και C', δυο ομοκεντρων κυκλων. 7. Οι επιφανειες C και C', δυο ομοκεντρων σφαιρων. 8. Σε ενα κλειστο ευθυγραμμο τμημα [ΑΒ], εχουμε ενα σημειο Μ εκτος αυτου που απεχει αποσταση d απο το ευθυγραμμο τμημα [ΑΒ]. Η κλειστη γραμμη ΓΥΡΩ απο το ευθυγραμμο αυτο τμημα [ΑΒ], η οποια διερχεται απο το σημειο Μ και τα σημεια της απεχουν αποσταση d απο το ευθυγραμμο τμημα [ΑΒ], ειναι ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ προς το ευθυγραμμο τμημα [ΑΒ]. 9. Δυο παραλληλες ευθειες Ε και Ε' , του επιπεδου. 10. Ο αξονας χχ' ενος ορθου κυλινδρου και η επιφανεια του S. ....................................................................................... ....................................................................................... κ.ο.κ και για αλλα πολλα παραδειγματα που μπορουμε να αναφερουμε.
Β. ΤΕΜΝΟΜΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟΣΥΝΟΛΑ
1. Οι περιφερειες C και C' δυο τεμνομενων κυκλων. 2. Το καλυμμα C ενος κυκλου και το εσωτερικο D του κυκλου αυτου. 3. Το καλυμμα C ενος ευθυγραμμου τμηματος [ΑΒ] και το εσωτερικο (ΑΒ) του ευθυγραμμου αυτου τμηματος. 4. Το καλυμμα C ενος κυβου και το εσωτερικο D του κυβου αυτου. 5.Στον αξονα των πραγματικων αριθμων, το κλειστο διαστημα [1,10] και το κλειστο διαστημα [4,15].
........................................................................................ ......................................................................................... κ.ο.κ και για αλλα πολλα παραδειγματα που μπορουμε να αναφερουμε.
Γ. ΑΣΥΜΒΑΤΑ ΣΗΜΕΙΟΣΥΝΟΛΑ
1. Μια ευθεια Ε του επιπεδου και ενα σημειο Μ εκτος αυτης. 2.Οι δυο απεναντι πλευρες [ΑΒ] και [ΓΔ] ενος παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ. 3.Η κορυφη Α ενος τετραγωνου ΑΒΓΔ και το συνολο S=(B,Γ,Δ) των υπολοιπων τριων αλλων κορυφων του Β.Γ,Δ. 4. Το συννορο(η περιφερεια ενος κυκλου) C και το εσωτερικο D του κυκλου αυτου. 5. To κλειστο διαστημα [5,12] και το ανοικτο διστημα (13,25]. 6. Η εστια Ε μιας ελλειψης και η περιφερεια της C.
........................................................................................ ......................................................................................... κ.ο.κ και για αλλα πολλα παραδειγματα που μπορουμε να αναφερουμε.
Απο ενα σημειο Μ που βρισκεται, εκτος ενος σημεισυνολου S η δεν φερεται ποτε καμια παραλληλος η φερεται μια και μονο μια η φερονται απειρες παραλληλες, προς το σημειοσυνολο S.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Ενα σημειοσυνολο S, αποτελειται η απο ενα μονο σημειο η απο περισσοτερα του ενος σημεια. Ας παρουμε την πρωτη περιπτωση:
Α. Εστω στο επιπεδο ενα σημειο S και ενα αλλο σημειο Μ εκτος αυτου. Συμφωνα με τον ορισμο των παραλληλων που αναφεραμε παραπανω, το σημειο Μ ειναι παραλληλο προς το σημειο S. Εχουμε δηλαδη, μια παραλληλο που φερεται απο το σημειο Μ προς το σημειο S. Τι συμβαινει ομως, εαν απο το σημειο Μ φερονται περισσοτερες απο μια παραλληλες προς το σημειο S? Η απαντηση ειναι η εξης: Εστω οτι, απο το σημειο Μ φερεται και μια δευτερη παραλληλος προς το σημειο S και ας υποθεσουμε οτι, αυτη ειναι η ΜΜ'. Για να ειναι ομως η ΜΜ', παραλληλος προς το σημειο S θα πρεπει το ΜΜ' να ειναι τοξο κυκλου που γραφεται με κεντρο το σημειο S και ακτινα SΜ. Αλλα ομως, μεταξυ των σημειων Μ και Μ' του τοξου ΜΜ' υπαρχουν απειρα σημεια Μ'', Μ''', Μ'''',.......Συνεπως, τα τοξα ΜΜ'', ΜΜ''', ΜΜ'''',...... ειναι παραλληλες προς το σημειο S, συμφωνα με τον ορισμο των παραλληλων. Αρα στην περιπτωση μας, εαν απο το σημειο Μ προς το σημειο S, φερονται περοσσοτερες απο μια παραλληλες, τοτε απο το σημειο Μ, φερονται απειρες παραλληλες προς το σημειο S.
Β. Εστω στο επιπεδο, μια λεια συνεχης γραμμη SS'(ευθεια η καμπυλη). Σε μια τετοια περιπτωση, η γραμμη αυτη: α) Η, θα εκτεινεται και προς τα αριστερα και προς τα δεξια στο απειρο , ητοι ειναι η SS'. β) Η, θα ειναι κλειστη απο αριστερα και θα εκτεινεται προς τα δεξια στο απειρο, ητοι ειναι η [ΑS'). γ) Η, θα ειναι κλειστη προς τα δεξια και θα εκτεινεται προς τα αριστερα στο απειρο, ητοι ειναι η (SB]. δ) Η, θα ειναι κλειστη και απο δεξια και απο αριστερα και ειναι η [ΑΒ]. Αυτες ειναι οι τεσερες βασικες περιπτωσεις που θα ασχοληθουμε. Αλλες ειδικες περιπτωσεις π,χ (SB), κ.λ.π δεν παιζουν κανενα ρολο στην αποδειξη του παραπανω θεωρηματος.
Ας παρουμε τωρα τη περιπτωση (α): Στην περιπτωση αυτη απο το σημειο Μ, φερεται απο το σημειο Μ, μια και μονο μια παραλληλος χχ' προς την γραμμη SS'. Η παραλληλος αυτη γραμμη, ακτεινεται και προς αριστερα και προς τα δεξια στο απειρο.
Ας παρουμε τωρα τη περιπτωση (β): Στην περιπτωση αυτη απο το σημειο Μ, μπορουμε να φερουμε μια παραλληλος Μ'χ' προς την ημι-γραμμη [ΑS'). Ας υποθεσουμε τωρα οτι, απο το σημειο Μ φερουμε και μια δευτερη παραλληλο Μ''χ' προς την γραμμη [ΑS'). Αλλα ομως, μεταξυ των σημειων Μ' και Μ'', υπαρχουν απειρα σημεια , ητοι τα σημεια Μ''', Μ'''', Μ''''',.... Συνεπως, οι γραμμες Μ'''χ', Μ''''χ', Μ'''''χ',..........ειναι παραλληλες προς την αρχικη γραμμη [ΑS'). Αρα λοιπον, στην περιπτωση (β), οταν απο το σημειο Μ φερουμε και δευτερη παραλληλο προς τη γραμμη [ΑS'), τοτε, μπορουμε να φερουμε απειρες παραλληλες προς τη γραμμη [ΑS').
Σημειωση:Με τον ιδιο ακριβως τροπο που εργασθηκαμε παραπανω για την περιπτωση (β), εργαζομαστε και για τις αλλες περιπτωσεις (γ) και (δ).
Επισης στο σημειο αυτο θα πρεπει να τονισουμε οτι, υπαρχουν σημειοσυνολα στα οποια δεν φερεται ποτε παραλληλος απο ενα σημειο Μ. Ενα τετοιο σημειοσυνολο, ειναι π.χ μια γωνια χοψ του επιπεδου στην οποια απο ενα σημειο Μ που βρισκεται στο εσωτερικο (στο κυρτο μερος) της γωνιας αυτης δεν μπορουμε ποτε να φερουμε παραλληλο προς τις πλευρες της γωνιας αυτης χοψ.
Συνεπως μετα απο αυτα που αναφεραμε παραπανω, αποδειχθηκε το θεμελιωδες θεωρημα της Γενικευμενης Γεωμετριας.
ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το θεμελιωδες θεωρημα της Γενικευμενης Γεωμετριας, ισχυει για οποιοδηποτε σημειοσυνολο (συνεκτικο, μη συνεκτικο) και για οπιονδηποτε χωρο ( Ευκλειδειο η μη Ευκλειδειο), οσωνδηποτε διαστασεων. Η συλλογιστικη και ο τροπος αποδειξης του θεωρηματος στις περιπτωσεις αυτες ειναι, αντιστοιχος με τον τροπο που αναφεραμε παραπανω.
ΠΟΡΙΣΜΑ: Απο ενα σημειο Μ που βρισκεται εκτος ενος σημειοσυνολου S, δεν μπορουμε ποτε να φερουμε εναν αριθμο Ν παραλληλων προς αυτο, οπου Ν= ακεραιος και θετικος και Ν>1.
ΠΟΡΙΣΜΑ: Στο επιπεδο και απο ενα σημειο Μ, που βρισκεται στο εσωτερικο ενος κυρτου ευθυγραμμου σχηματος π.χ ν-πλευρου, δεν φερεται ποτε παραλληλος προς την περιμετρο του.
ΠΟΡΙΣΜΑ: Στο επιπεδο και απο ενα σημειο Μ, που βρισκεται στο εξωτερικο ενος κυρτου ευθυγραμμου σχηματος π.χ ν-πλευρου, φερεται, παντοτε, μια και μονο μια παραλληλος προς την περιμετρο του, η οποια ειναι παντοτε, μια κλειστη γραμμη.
ΠΟΡΙΣΜΑ:Στο επιπεδο και απο ενα σημειο Μ, που βρισκεται εκτος μιας ευθειας χχ', φερονται: 1. Μια μονο παραλληλος προς αυτη (και μαλιστα ευθεια γραμμη. Το γνωστο Ευκλειδειο αιτημα). 2. Εαν η ευθεια χχ' "περιορισθει" σε ενα κλειστο ευθυγραμμο τμημα [ΑΒ], τοτε, απο το σημειο Μ, φερονται απειρες παραλληλες και εξ αυτων μονο μια παραλληλος ειναι κλειστη, και 3. Εαν, τα ακρα Α, Β του κλειστου αυτου ευθυγραμμου τμηματος [ΑΒ], συμπεσουν (ΑΞΒ), τοτε απο το σημειο Μ, φερονται απειρες παραλληλες προς το το σημειο ΑΞΒ και μια μονο κλειστη (δηλ. η περιφερεια κυκλου που γραφεται με κεντρο το σημειο Κ και ακτινα ΚΜ.
......................................................................................... ........................................................................................... κ.ο.κ για διαφορα αλλα θεωρηματα και πορισματα που μπορουμε να διατυπωσουμε.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1. ΠΡΟΣΟΧΗ! Διδεται στο χωρο μια ευθεια χχ' και ενα σημειο Μ εκτος αυτης, τοτε απο το σημειο Μ, φερονται απειρες παραλληλες (επιφανειες) προς την ευθεια χχ'.
2. Απο ενα σημειο Μ, που βρισκεται στο εσωτερικο μια πυραμιδας, κυβου, τετραεδρου, κ.λ.π δεν φερεται ποτε παραλληλος προς τις πλευρες τους.
3. Απο ενα σημειο Μ, που βρισκεται στο εσωτερικο ενος κυκλου, ελλειψης, παραβολης η υπερβολης (κωνικης γενικα), φερεται (οχι παντοτε) μια και μονο μια παραλληλος προς αυτη, κλειστη η ανοικτη.
4. Στο επιπεδο εχουμε ενα κυκλο και ενα σημιο Μ (εκτος η εντος του κυκλου), τοτε απο το το σημειο Μ δεν φερεται ποτε, καμια παραλληλος προς το εσωτερικο του κυκλου.
5. Δυο σημειοσυνολα Α και Β ειναι, παραλληλα μεταξυ τους. Ενα τριτο σημειοσυνολο Γ ειναι παραλληλο προς το σημειοσυνολο Α. Στην περιπτωση αυτη, τα σημειοσυνολα Α, Β, Γ δεν ειναι παντοτε και παραλληλα μεταξυ τους. Ποτε ομως ειναι και ποτε δεν ειναι, παραλληλα μεταξυ τους? (Ασκηση για τον αναγνωστη)
6. Δυο τοπολογικες επιφανειες διαφορετικου γενους δεν μπορει ποτε να ειναι παραλληλες μεταξυ τους (π.χ ενας τορρος (σαμπρελλα) και μια σφαιρα.
7. Οι κορυφες Α,Β,Γ,Δ ενος κανονικου τετραεδρου εναι παντοτε παραλληλες μεταξυ τους, καθ ολους τους δυνατους συνδυασμους εαν τις παρουμε και σχηματισουμε τα αντοιστοιχα μη- συνεκτικα σημειοσυνολα. Αυτο συμβαινει για καποιο αλλο στερεο σχημα?
8. Μια ελικα (σπειρα) π.χ αυτη του Αρχιμηδη, δεχεται παραληλη σπειρα?
9. Ολες οι λειες και κατα τοξο συνεκτικες καμπυλες (κλειστες η ανοικτες), δεν δεχονται παντοτε παραλληλο. Ποτε ομως δεχονται και ποτε δεν δεχονται? Να βρεθει η συνθηκη. (Ασκηση για τον αναγνωστη)
.......................................................................................... .......................................................................................... κ.ο.κ και για διαφορα πολλα αλλα παραδειγματα που μπορουμε να αναφερουμε.......
Ας παρουμε για λογους απλοτητας την Ευκλειδεια Γεωμετρια του επιπεδου. Οπως ειναι γνωστο, ενα ευθυγραμμο σχημα(κυρτο) οριζεται απο τις κορυφες του Α, Β, Γ,....Ν Στην Ευκλειδειο Γεωμετρια οι κορυφες αυτες, ειναι γεωμετρικα σημεια (σημειοσυνολα μονομελη). Αντιθετα στη Γενικευμενη Γεωμετρια οι κορυφες των γενικευμενων σχηματων, μπορει να ειναι, οποιοδηποτε σημειοσυνολο (συνεκτικο η μη συνεκτικο) π.χ Κυκλος, ελλειψη, παραβολη, ευθυγραμμο τμημα, κ.λ.π.
Ας παρουμε τωρα στο επιπεδο, μια ελλειψη Α, ενα κυκλο Β και μια παραβολη Γ, τα οποια ουτε να τεμνονται αλλα ουτε και να εφαπτονται μεταξυ τους. Στη Γενικευμενη Γεωμετρια, τα τρια αυτα σημειοσυνολα Α, Β, Γ, οριζουν ενα Γενικευμενο τριγωνο ΑΒΓ. Συγκεκριμμενα:
1. ΠΛΕΥΡΕΣ. Η αποσταση μεταξυ του σημειοσυνολου Α και του σημειοσυνολου Β, οριζουν την πλευρα γ του Γενικευμενου αυτου τριγωνου ΑΒΓ. Ομοιως, η αποσταση μεταξυ του σημειοσυνολου Β και του σημειοσυνολου Γ, οριζουν την πλευρα α του Γενικευμενου αυτου τριγωνου ΑΒΓ. Τελος, η αποσταση μεταξυ του σημειοσυνολου Γ και του σημειοσυνολου Α, οριζουν την πλευρα β του Γενικευμενου αυτου τριγωνου ΑΒΓ. 2. ΔΙΑΜΕΣΟΙ. Η αποσταση απο το σημειοσυνολο Α και το μεσον Μ της πλευρας α οριζει την διαμεσο μ(α). Ομοιως , η αποσταση απο το σημειοσυνολο Β και το μεσον Μ' της πλευρας β οριζει την διαμεσο μ(β). Τελος, η αποσταση απο το σημειοσυνολο Γ και το μεσον Μ'' της πλευρας γ οριζει την διαμεσο μ(γ). 3. ΥΨΗ. Η αποσταση απο το σημειοσυνολο Α και την πλευρα α οριζει το υψος υ(α). Ομοιως, η αποσταση απο το σημειοσυνολο Β και την πλευρα β οριζει το υψος υ(β). Τελος, η αποσταση απο το σημειοσυνολο Γ και την πλευρα γ οριζει το υψος υ(γ). 4. ΓΩΝΙΕΣ. Οι πλευρες β και γ προεκτεινομενες, οριζουν τη γωνια Α. Οι πλευρες γ και α προεκτεινομενες, οριζουν τη γωνια Β. Οι πλευρες α και β προεκτεινομενες, οριζουν τη γωνια Γ. 5. ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ. Το ευθυγραμμο τμημα(οχι υποχρεωτικα αποσταση), που περιεχεται μεταξυ του σημειοσυνολου Α και της πλευρας α και κειται επι της διχοτομου της γωνιας Α, οριζεται ως η διχοτομος δ(α). Ομοιως, το ευθυγραμμο τμημα (οχι υποχρεωτικα αποσταση),που περιεχεται μεταξυ του σημειοσυνολου Β και της πλευρας β και κειται επι της διχοτομου της γωνιας Β, οριζεται ως η διχοτομος δ(β). Τελος,το ευθυγραμμο τμημα (οχι υποχρεωτικα αποσταση),που περιεχεται μεταξυ του σημειοσυνολου Γ και της πλευρας γ και κειται επι της διχοτομου της γωνιας Γ , οριζεται ως η διχοτομος δ(γ). 6. ΕΜΒΑΔΟΝ. Το χωριο το οποιο περιεχεται, μεταξυ των σημειοσυνολων Α, Β, Γ και των πλευρων α, β, γ οριζεται, ως εμβαδον Ε . 7. ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. Ο Κυκλος του οποιου η περιφερεια εφαπτεται και των τριων πλευρων α, β, γ οριζεται ως εγγεγραμμενος κυκλος. 8. ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. Ο Κυκλος του οποιου και οι τρεις πλευρες α, β, γ ειναι χορδες του οριζεται, ως περιγεγραμμενος κυκλος.
Μετα τους ορισμους αυτους που δωσαμε παραπανω θα πρεπει να τονισουμε οτι: Σε ενα γενικευμενο τριγωνο ΑΒΓ, εαν π.χ η γωνια του Α ειναι ορθη, ονομαζεται ορθογωνιο. Εαν, και οι τρεις πλευρες του α, β, γ ειναι ισες θα ονομαζεται ισοπλευρο. Εαν οι δυο πλευρες του ειναι ισες θα ονομαζεται ισοσκελες, κ.ο.κ
Επισης ενα γενικευμενο τριγωνο, μπορει να εχει περισσοτερας απο τρια υψη, διαμεσους, διχοτομους, κ.λ.π και αυτο εξαρταται απο το ειδος των σημειοσυνολων Α, Β, Γ και την μεταξυ τους θεση στο επιπεδο.
Επισης, σε ενα γενικευμενο τριγωνο μπορει και οι τρεις πλευρες του α, β, γ να ειναι 0, ητοι να ειναι α=0, β=0,γ=0 και να εχει εμβαδο Ε, που να ειναι Ε>0, οπως π.χ σε ενα γενικευμενο τριγωνο ΑΒΓ του οποιου οι κορυφες του Α, Β, Γ να ειναι π.χ καμπυλες εφαπτομενες εξωτερικως μεταξυ τους, οποτε στην περιπτωση αυτη οι πλευρες του ειναι α=0, β=0, γ=0 και το εμβαδο του ειναι Ε>0, συμφωνα με τον ορισμο που αναφεραμε παραπανω.
Ομως εκεινο που πρεπει να τονισουμε ειναι το γεγονος οτι, τα διαφορα θεωρηματα, πορισματα, κ.λ.π που αφορουν τα γενικευμενα τριγωνα (και γενικως τα γενικευμενα σχηματα), ειναι γενικευση των γνωστων θεωρηματων, πορισματων, κ.λ.π που σημερα γνωριζουμε. Με την εννοια οτι, εαν ολες οι κορυφες των γενικευμενων σχηματων, καταστουν σημειοσυνολα μονομελη δηλαδη γεωμετρικα σημεια, τοτε προκυπτουν αμεσως τα αντιστοιχα θεωρηματα πορισματα, κ.λ.π που σημερα γνωριζουμε. Παραδειγμα, σε ενα γενικευμενο τριγωνο ΑΒΓ τα τρια υψη του υ(α). υ(β), υ(γ), μπορει να μη διερχονται απο το αυτο σημειο (το ορθοκεντρο), αλλα ομως, εαν οι κορυφες Α, Β, Γ του Γενικευμενου αυτου τριγωνου ΑΒΓ καταστουν σημειοσυνολα μονομελη, δηλαδη γεωμετρικα σημεια, τοτε τα τρια αυτα υψη θα διερχονται απο το αυτο σημειο, οποτε εχουμε το γνωστο μας θεωρημα. Και ουτω καθ εξης, και για διαφορα πολλα αλλα παραδειγματα που μπορουμε να αναφερουμε.
Επισης, γενικευμενα σχηματα μπορουμε να εχουμε προφανως και σε οποιονδηποτε Ευκλειδειο η μη Ευκλειδειο χωρο, οσωνδηποτε διαστασεων. Ετσι π.χ, μπορουμε να εχουμε ενα γενικευμενο τριγωνο ΑΒΓ , οπου τα σημειοσυνολα Α, Β, Γ να ειναι στην επιφανεια μιας σφαιρας (η ελλειψοειδους, παραβολοειδους, κ.λ.π,) οποτε στην περιπτωση αυτη, εχουμε ενα γενικευμενο σφαιρικο τριγωνο ΑΒΓ, του οποιου π.χ οι πλευρες α, β, γ ειναι τωρα οι γεωδαισιακες γραμμες, που συνδεουν τα σημειοσυνολα Α, Β, Γ μεταξυ τους.
Τελος, εαν ασχοληθουμε με την ερευνα και τη μελετη των γενικευμενων σχηματων, (οπως αυτα ορισθηκαν παραπανω), μπορουμε να διατυπωσουμε, πληθος θεωρηματων, πορισματων, ιδιοτητων, κ.λ.π που εχουν σχεση με τα γενικευμενα σχηματα. Ο τομεας αυτος, ειναι παρα πολυ μεγαλος απο αποψης μαθηματικης ερευνας.
Ας υποθεσουμε οτι, στο επιπεδο εχουμε τεσσερα οποιαδηποτε σημειοσυνολα Α, Β, Γ, Δ π.χ ενα κυκλο Α, μια ελλειψη Β, μια ευθεια Γ και ενα σημειο Δ, (τα οποια θεωρουμε για λογους απλοτητας, το καθενα να μη περιεχεται εντος του αλλου, ουτε και εφαπτονται μεταξυ τους). Τα τεσερα αυτα σημειοσυνολα Α, Β, Γ, Δ οριζουν τη θεση ενος Γενικευμενου τετραπλευρου ΑΒΓΔ.
Συγκεκριμενα: 1. ΚΟΡΥΦΕΣ. Τα σημειοσυνολα Α, Β, Γ, Δ ειναι οι κορυφες του. 2. ΠΛΕΥΡΕΣ. Η αποσταση του σημειοσυνολου Α απο το σημεισυνολο Β, οριζει την πλευρα α. Η αποσταση του σημειοσυνολου Β απο το σημεισυνολο Γ, οριζει την πλευρα β. Η αποσταση του σημειοσυνολου Γ απο το σημεισυνολο Δ, οριζει την πλευρα γ. Η αποσταση του σημειοσυνολου Δ απο το σημεισυνολο Α, οριζει την πλευρα δ. 3. ΓΩΝΙΕΣ. Οι προεκτασεις των πλευρων α και δ, οριζουν την γωνια Α. Οι προεκτασεις των πλευρων α και β, οριζουν την γωνια Β. Οι προεκτασεις των πλευρων β και γ, οριζουν την γωνια Γ. Οι προεκτασεις των πλευρων γ και δ, οριζουν την γωνια Δ 4. ΔΙΑΓΩΝΙΟΙ Η αποσταση του σημειοσυνολου Α απο το σημεισυνολο Γ, οριζει την διαγωνιο ΑΓ. Η αποσταση του σημειοσυνολου Β απο το σημεισυνολο Δ, οριζει την διαγωνιο ΒΔ. 5.ΔΙΑΜΕΣΟΙ. Το μεσον Μ της πλευρας α και το μεσον Μ' της πλευρας γ, οριζουν τη διαμεσο ΜΜ'. Το μεσον Ν της πλευρας δ και το μεσον Ν' της πλευρας β, οριζουν τη διαμεσο ΝΝ'. 6. ΕΜΒΑΔΟΝ. Το χωριο το οποιο περιεχεται μεταξυ των πλευρων α, β, γ, δ και των σημειοσυνολων Α, Β, Γ, Δ οριζουν το εμβαδο Ε. 7.ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ. Το συνορο του χωριου που οριζει το εμβαδον, ειναι η περιμετρος.
Κατ αντιστοιχια, με τους ορισμους της Ευκλειδειας Γεωμετριας, εχουμε γενικευμενα κυρτα, η μη κυρτα πολυγωνα, καθως και γενικευμενα τετραγωνα, ρομβους, παραλληλογραμμα, τραπεζια,κ.λ.π
Οταν σε ενα κυρτο γενικευμενο ν-πλευρο, ολες οι πλευρες του και ολες οι γωνιες του ειναι ισες, τοτε αυτο το ονομαζουμε, γενικευμενο κανονικο πολυγωνο, ητοι, γενικευμενο κανονικο πενταγωνο, εξαγωνο, κ.ο.κ.
Επισης θα πρεπει να τονισουμε οτι, γενικευμενα πολυγωνα μπορουμε να εχουμε στο χωρο η επανω σε επιφανειες και γενικως σε διαφορου Ευκλειδειους και μη Ευκλειδειους χωρους, οσωνδηποτε διαστασεων. Τελος , ο τομεας των γενικευμενων παρουσιαζει ιδιαιτερο ενδιαφερον απο αποψης μαθηματικης ερευνας.
ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Στη Γενικευμενη Γεωμετρια, ολα τα γενικευμενα γεωμετρικα σχηματα, χωριζονται σε δυο μεγαλες κατηγοριες, ητοι:
1. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ, και
2. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ.
Ολα τα γενικευμενα σχηματα που αναφεραμε στα προηγουμενα κεφαλαια, ηταν ΜΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ γενικευμενα σχηματα.
Η κατηγορια των ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ., εχει ως εξης:
Ας παρουμε στο επιπεδο, ενα "κλασσικο" τριγωνο ΑΒΓ. Απο ενα σημειο Μ εκτος αυτου που απεχει αποσταση d , φερουμε τη μοναδικη κλειστη παραλληλο γυρω απο το τριγωνο ΑΒΓ. Η κλειστη αυτη παραλληλος που θα σχηματισθει, ειναι μια μεικτη γραμμη, η οποια αποτελειτα απο ευθυγραμμα και απο καμπυλα τμηματα. Τα καμπυλα τμηματα ειναι τρια τον αριθμο και ειναι αντιστοιχως, τοξα κυκλων, που γραφονται με κεντρα τα σημεια Α, Β, Γ και ακτινα d. Την κλειστη λοιπον αυτη παραλληλο που φεραμε γυρω απο το τριγωνο ΑΒΓ θα την ονομαζουμε, γενικευμενο παραλληλο τριγωνο Α'Β'Γ' του τριγωνου ΑΒΓ.
ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ, το γενικευμενο παραλληλο αυτο τριγωνο Α'Β'Γ' που σχηματισαμε θα εχει ως κορυφες Α',Β',Γ' τα τρια τοξα κυκλου, που αντιστοιχουν στις κορυφες Α, Β, Γ του αρχικου τριγωνου ΑΒΓ.
Ετσι λοιπον, αφου ορισθηκαν οι κορυφες Α',Β',Γ' του γενικευμενου αυτου τριγωνου Α'Β'Γ', κατα συνεπεια μπορουμε τωρα ευκολα να ορισουμε, ολα τα υπολοιπα δομικα στοιχεια του γενικευμενου αυτου τριγωνου Α'Β'Γ', δηλαδη, πλευρες, υψη, διαμεσοι, εμβαδο, κ.λ.π.
Αρα λοιπον, για καθε τριγωνο και γενικα για καθε κυρτο πολυγωνο (τετραγωνο, παραλληλογραμμο, εξαγωνο, δωδεκαγωνο, κ.λ.π, μπορουμε με τον τροπο που αναφεραμε παραπανω να σχηματισουμε και το αντιστοιχο γενικευμενο παραλληλο σχημα τους, φεροντας τη κλειστη παραλληλο γυρω απο αυτα απο ενα σημειο Μ, που βρισκεται εκτος αυτων και απεχει αποσταση d απο αυτα.
Τα γενικευμενα παραλληλα σχυματα, παιζουν σπουδαιο ρολο στη Γενικευμενη Γεωμετρια, διοτι αποτελουν τη "γεφυρα" μεταξυ της ηδη γνωστης Ευκλειδειου Γεωμετριας και της Γενικευμενης Γεωμετριας.
Εχοντας λοιπον, το "ζευγος" π.χ του τριγωνου ΑΒΓ και του γενικευμενου του παραλληλου τριγωνου Α'Β'Γ', μπορουμε τωρα, ερευνωντας να διατυπωσουμε, πολλα νεα θεωρηματα, πορισματα, ιδιοτητες, κ.λ.π, που εχουν σχεση με τη Γενικευμενη Γεωμετρια.
Ετσι π.χ παιρνοντας, ενα ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ και το αντιστοιχο του γενικευμενο παραλληλο ορθογωνιο τριγωνο Α'Β'Γ', μπορουμε ερευνωντας να διατυπωσουμε πολυ ενδιαφεροντα, θεωρηματα, πορισματα, κ.λ.π , και να προβουμε π.χ σε μια επεκταση του Πυθαγορειου θεωρηματος (για το γενικευμενο παραλληλο ορθογωνιο τριγωνο Α'Β'Γ'), με την εννοια οτι, οταν η αποσταση d γινει d=0 , τοτε υποχρεωτικα θα πρεπει να προκυπτει αμεσως, η γνωστη μας μετρικη σχεση του Πυθαγορειου θεωρηματος.
Ασκηση για τον αναγνωστη
Διδεται στο επιπεδο ενα ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ πλευρας α. Απο ενα σημει Μ, (εκτος του τριγωνου), που απεχει απο το τριωνο ΑΒΓ αποσταση d, σχηματιζουμε το γενικευμενο παραλληλο ισοπλευρο τριγωνο Α'Β'Γ'.
Ζητειται: Να βρεθουν ολα τα στοιχεια (γωνιες, πλευρες, υψη, διαμεσοι, διχοτομοι, κ.λ.π ) του τριγωνου Α'Β'Γ', καθως και ο λογος των εμβαδων των τριγωνου ΑΒΓ και Α'Β'Γ'.
(Σημ. Ειναι μια, παρα πολυ απλη ασκηση για εξοικειωση του αναγνωστη με τη Γενικευμενη Γεωμετρια).
ΑΝΑΓΩΓΑ ΚΑΙ ΜΗ ΑΝΑΓΩΓΑ ΣΗΜΕΙΟΣΥΝΟΛΑ
Ορισμος: Ενα οποιοδηποτε σημειοσυνολο Α θα το ονομαζουμε αναγωγο, οταν δεν υπαρχει κανενα σημειο Μ (του επιπεδου η του χωρου) απο το οποιο να μπορουμε να φερουμε παραλληλο προς το σημειοσυνολο Α.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Αναγωγα σημειοσυνολα, ειναι τα παρακατω: 1. Δυο τεμνομενες ευθειες ε και ε' του επιπεδου. 2. Γραμμες "κομβικου" τυπου, π.χ της μορφης "Υ" η "Τ" 3. Γραμμες, οπως π.χ της μορφης "Θ" η "Μ". 4. Ενα μη κυρτο πολυγωνο, κ.ο.κ και για αλλα πολλα σημειοσυνολα.
Ορισμος:Ενα οποιοδηποτε σημειοσυνολο Α θα το ονομαζουμε μη αναγωγο, οταν υπαρχει τουλαχιστο ενα σημειο Μ (του επιπεδου η του χωρου απο το οποιο να μπορουμε να φερουμε παραλληλο προς το σημειοσυνολο Α.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. 1. Μια ευθεια ε του επιπεδου η του χωρου. 2. Μια κωνικη (κυκλος, ελλειψη, παραβολη) 3. Μια ημιτονοειδης καμπυλη. 4. Μια γωνια χοψ. 5. Ενα τριγωνο ΑΒΓ, κ.ο.κ και για διαφορα αλλα πολλα σημειοσυνολα.
ΙΣΟΤΗΣ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Ορισμος; Δυο γενικευμενα ευθυγραμμα σχηματα (τριγωνα, τετραπλευρα, κ.λ.π) ειναι ισα, οταν ολα τα στοιχεια τους ειναι αντιστοιχως ισα, ενα προς ενα, και τιθεμενο το ενα επι του αλλου να ταυτιζονται.
Ορισμος: Δυο γενικευμενα ευθυγραμμα σχηματα (τριγωνα, τετραπλευρα, κ.λ.π) ειναι ομοια, οταν ολα τα γραμμικα στοιχεια τους ειναι ομοια, ενα προς ενα και οι αντιστοιχες γωνιες τους ειναι, ισες μια προς μια.
Σκοπος των παραδειγματων (ασκησεων) που ακολουθουν, ειναι ο ανγνωστης λυνοντας αυτα να αφομοιωσει και να εμπεδωσει τις εννοιες της νεας αυτης γεωμετριας, ητοι της Γενικευμενης Γεωμετριας. Τα παραδειγματα λοιπον αυτα, εχουν ως εξης:
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Τα σημειοσυνολα (οι γραμμες), που εχουν τη μορφη των κεφαλαιων γραμματων της Ελληνικης αλφαβητου, ποια ειναι αναγωγα και ποια ειναι μη αναγωγα σημειοσυνολα?
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Σχηματισατε (10) γενικευμενα τριγωνα ΑΒΓ των οποιων οι κορυφες τους Α, Β, Γ να ειναι διαφορα σημειοσυνολα (παραλληλα, τεμνομενα, η ασυμβατα) και βρειτε ολα τα στοιχεια (γωνιες, πλευρες, υψη, διαμεσοι, διχοτομοι, εμβαδον, περιμετρος, κ.λ.π), αυτων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Σχηματισατε (10) κυρτα γενικευμενα πολυγωνα (5) κανονικα και (5) μη κανονικα και βρειτε ολα τα στοιχεια (γωνιες, πλευρες, διαγωνιοι, διαμεσοι, διχοτομοι, περιμετρος, εμβαδον, κ.λ.π) αυτων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.Σχηματισατε απο μια αποσταση d τα παρακατω, παραλληλα σχηματα: 1. Ενα παραλληλο ισοπλευρο τριγωνο. 2. Ενα παραλληλο ισοσκελες τριγωνο. 3. Ενα παραλληλο ορθογωνιο τριγωνο. 4. Ενα παραλληλο τετραγωνο. 5. Ενα παραλληλο ρομβο. 6. Ενα παραλληλο κανονικο εξαγωνο, και βρειτε ολα τα στοιχεια αυτων.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Διδεται μια ελλειψη με ημιαξονες a και b (a>b). Ζητειται, απο ποια περιοχη στο εσωτερικο της ελλειψης δεν μπορουμε να φερουμε παραλληλο προς την περιφερεια της? Το ιδιο να ερευνηθει και για τη παραβολη y= x^2.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Το σημειοσυνολο (φυλλο του Descartes) που διδεται απο την εξισωση, x^3 + y^3 = 3axy, ειναι αναγωγο η μη αναγωγο σημεισυνολο? Το ιδιο και για το λημνισκο, x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3). Επισης,το ιδιο και για την υπερβολικη συναρτηση, y = tanhx.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Διδεται στο επιπεδο και στο συστημα συντεταγμενων χοψ ο κυκλος : A: x^2 + y^2 = 4^2. H παραβολη: B: y = 10x^2, και Το σημειο: Γ: (15, 0). Ζητειται να βρεθουν ολα τα σοιχεια του γενικευμενου τριγωνου ΑΒΓ.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Στον αξονα των πραγματικων αριθμων xx' να βρεθουν ολα τα στοιχεια των γενικευμενων τριγωνων ΑΒΓ που εχουν ως κορυφες Α, Β, Γ τα παρακατω σημειοσυνολα:
1) Α: (-απειρο, - 2]
B: [3,8]
Γ : [10, + απειρο).
2) Α: [-10, -4]
B: [10, 15]
Γ : [25,40]
3) Α: (5, 10]
B: [12, 15]
Γ: [20, + απειρο)
4) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9. Στο επιπεδο και στο συστημα συντεταγμενων χοψ να βρεθουν ολα τα στοιχεια του γενικευμενου τριγωνου ΑΒΓ του οποιου η καρυφη Α, ειναι η περιφερεια ελλειψης και οι κορυφες Β και Γ ειναι οι εστιες της. Τι αλλαζει στο προηγουμενο γενικευμενο τριγωνο ΑΒΓ, εαν η κορυφη Β ειναι η περιφερεια της ελλειψης και η κορυφη Α ειναι η μια εστια της?
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10. Στον αξονα των πραγματικων αριθμων xx' να βρεθουν ολα τα στοιχεια των γενικευμενων τριγωνων ΑΒΓ που εχουν ως κορυφες Α, Β, Γ τα παρακατω σημειοσυνολα:
1) A:Το αθροισμα S της σειρας S= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +.......
B: Το αθροισμα S της σειρας S = 10 + 1/10 + 1/20 + 1/ 30 + ..
Γ: Το αθροισμα S της σειρας S = -5 + (-5)/2 + (-5)/3 + (-5)/4 +.......
2) Α : Το συνολο των ορων της ακολουθιας με γενικο ορο : α(ν) = 1 - 10ν
Β: Το συνολο των ορων της ακολουθιας με γενικο ορο : α(ν) = 1 - 1/ν^2
Γ : Το συνολο των ορων της ακολουθιας με γενικο ορο : α(ν) = 12ν^2 +1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11. Λαμβανουμε ενα "κλασσικο" κανονικο εξαγωνο ΑΒΓΔΕΖ πλευρας α. Διατηρουμε την πρωτη την τριτη και την πεπτη πλευρα του. Τις υπολοιπες τις διαγραφουμε (τις "πεταμε" ). Στο γενικευμενο τριγωνο των τριων πλευρων που απεμεινε να βρεθουν ολα τα στοιχεια του.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12. Την περιφερεια μιας ελλειψης την διαιρουμε σε τεσερα ισα τοξα. Διατηρουμε το πρωτο το το τριτο το πεμπτο και το εβδομο τοξο. Τα υπολοιπα τοξα τα διαγραφουμε (τα "πεταμε" ). Στο γενικευμενο τετραπλευρο των τεσαρων τοξων που απεμεινε να βρεθουν ολα τα στοιχεια του.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13. Διδεται η εξισωση αχ^2 + βχ +γ = 0 με δυο θετικες ριζες χ και χ',(χ<χ'). Στον αξονα των πραγματικων αριθμων ΧΧ', τοποθετουμε την ριζα χ,την ριζα χ' το αθροισμα χ+χ' και το γινομενο χχ'. Στο γενικευμενο τετραπλευρο ΑΒΓΔ που προεκυψε, οπου Α = χ, Β = χ', Γ = χ+χ' και Δ = χχ' να βρεθουν ολα τα στοιχεια του.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14. Στην Υδρογειο σφαιρα θεωρουμε τις χωρες Α (ΕΛΛΑΔΑ), Β(ΒΡΑΖΙΛΙΑ), Γ(ΚΑΝΑΔΑΣ). Ζητειται, στο σφαιρικο γενικευμενο τριγωνο ΑΒΓ να βρεθουν ολα τα στοιχεια του.
............................................................................................... κ.λ.π παρα πολλα αλλα παραδειγματα που μπορουμε να αναφερουμε.
ΕΠΙΛΟΓΟΣ
Με ολα οσα,αναφεραμε στις προηγουμενες σελιδες, ηταν μια μικρη περιληψη των βασικων εννοιων της Γενικευμενης Γεωμετριας. Το παρα πολυ ενδιαφερον κεφαλαιο που αφορα τους ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΚΑΙ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ θα συμπεριληφθει στη νεα εκδοση του βιβλιου της Γενικευμενης Γεωμετριας που θα κυκλοφορησει προσεχως. H Γενικευμενη Γεωμετρια ειναι, ενας καινουργιος κλαδος της Μαθηματικης Επιστημης με απεριοριστο χωρο ερευνας και μελετης, ανοιγοντας νεους οριζοντες στη μαθηματικη σκεψη.
Τελος θελω να ευχαριστησω το www.physics4u.gr για τη φιλοξενια που μου προσεφερε και ΟΛΟΥΣ τους επισκεπτες αυτου του Τhreed.
Η "ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ" Copyright 2006: Christos A. Tsolkas
Χωρίς διάθεση αν σας προβοκάρω, καθαρά από περιέργεια.
Κύριε Τσόλκα αλήθεια πως στηρίζετε οικονομικά τις εκδόσεις αυτές;;;
Δεν θα ηταν σοφρωνέστερο να μαζεύετε τα χρήματα, με σκοπό την διεξαγωγή των πειραμάτων σας.
Αν πάλι πουλάνε τόσο πολύ τα βιβλία σας ώστε να μην χρειάζεται στήριξη από την πλευρά σας το εκδορικό έργο ένας λόγος παραπάνω να βάλετε και κάτι στην άκρη...
Σκεφτείτε και τους κακομοίρηδες τους σκηνοθέτες που για να γυρίσουν την πρώτη τους ταινία ξεπουλάνε περιουσίες και υποθηκεύουν ακίνητα. Όποιος πιστέυει στο όνειρό του το ακολουθεί μέχρι τέλους.
BTW Σωστή επιχειρηματική κίνηση στα πρότυπα τωνμεγάλων εκδοτικών οίκων. Δημοσιέυετε το πρώτο καιφάλαιο του βιβλίου σας ώστε να ιντριγκάρετε τον αναγνώστη.
