Στην γενική σχετικότητα μειώνεται η βαρύτητα με το αντίστροφο του τετραγώνου της απόστασης όπως στο νόμο του Νεύτωνα? Σε αυτή την περίπτωση τι θεωρείται ως απόσταση στο στρεβλωμένο χωροχρόνο?
Opos exoyme pei kai alloy, sthn genikh sxetikothta den yparxei kamia dynamh. Oi troxies ton somatidion einai oi geodesiakes toy xoroxronoy oi opoies genika einai kampyles. 8a kano mia sintomh kai sxetika poiotikh perigrafh.
Syni8os h eksisosh poy dinei thn troxia toy somatidioy ston xoro einai mia diaforikh eksisosh deyterhs takshs opoy apo thn mia exeis thn deyterh paragogo ths 8eshs (epitaxynsh) kai apo thn allh exeis mia synarthsh ths 8eshs poy mporeis na 8eoriseis os mia effective dynamh.
H morfh aytoy toy oroy eksartate apo thn geometria toy xoroxronoy (se mia geometria Schwartschild 8a einai diaforetikh apo oti se mia geometria Kerr) kai genika mporei na anaptix8ei se seira me oroys ths morfhs 1/r^2 , 1/r^3 ,... (ston oro ayto kribete kai to komati poy exei na kanei me thn stroformh toy somatidioy, alla ayto as poyme oti den mas endiaferei).
Se poly as8enh pedia h' poly makria apo to soma poy prokalei thn kampylosh toy xoroxronoy h simantikoterh synisfora einai apo ton oro 1/r^2 kai etsi pernoyme ton gnosto nomo ths pagkosmias elkshs toy Newton. Se isxyra pedia kai se mh statikoys xoroxronoys exoyme apoklish apo to 1/r^2 kai synisferoyn kai alloi oroi.
To teleyteo poy rotas einai to pio shmantiko isos. Genika to ti shmenei apostash den einai tetrimeno 8ema. Sini8os ayto poy xrhshmopoioyme (to r sto 1/r^2 gia paradeigma) einai h "aktinikh" syntetagmenh poy poly makria kai se as8enes pedio sympiptei me thn sini8ismenh aktinikh apostash, alla poly konta gia na ypologisoyme thn apostash 8a prepei na ypologisoyme oloklhromata ths morfhs Int{(g_rr)^1/2 dr} gia paradeigma, poy 8a emplekoyn oroys ths metrikhs. To ti akribos einai to ka8e "r" eksartate apo thn ekastote metrikh. Gia paradeigma sthn metrikh Schwartschild h syntetagmenh "r" antistoixei sthn syntetagmenh poy 8a exoyn ta shmeia ths epifaneias mias sfairas poy 8a exei embado epifaneias 4πr^2, alla h aktina ayths ths sfairas den 8a einai apla kai mono to r.
Αγαπητέ Antoni, σχετικά με το γεγονός ότι στην Γ.Σ δεν μιλάμε για δύναμη αλλά για κίνηση σε μια γεωδεσιακή και την ερμηνεία της διαφορικής εξίσωσης που την εκφράζει με κάλυψε ο Vagelford. Σχετικά τώρα με την έννοια της απόστασης r στον 3-διάστατο χώρο από ένα ελκτικό κέντρο θα μπορούσαμε να σχηματίσουμε μια πιο χειροπιαστή εικόνα. Κατ' αρχήν και σε καμπύλους χώρους όταν λέμε ότι θέλουμε να μετρήσουμε μια απόσταση μεταξύ δύο σημείων, πρέπει να βάλουμε το μέτρο μας διαδοχικά τόσες φορές μεταξύ των δύο σημείων πάνω σε εκείνη τη γραμμή που τα ενώνει όπου θα προκύψει ο μικρότερος αριθμός επαναλήψεων. Έστω λοιπόν ότι κάποιος παρατηρητής μέτρησε π.χ για την τροχιά της Γης (έστω για απλούστευση ότι είναι κλειστή κυκλική γραμμή) μήκος περιφέρειας Γ. Θέλει τώρα να βρει πόσο απέχει η Γη από αυτό που θεωρεί ελκτικό κέντρο για την τροχιά της. Αν αυτός ζει σ' ένα επίπεδο κόσμο τότε η διαίρεση του Γ με το 2π, θα του δώσει σωστά την απόσταση της Γης από το ελκτικό κέντρο. Αν όμως ο κόσμος του είναι καμπύλος,- όπως για παράδειγμα τα τοιχώματα ενός κολονάτου ποτηριού της σαμπάνιας και η τροχιά της Γης είναι π.χ το χείλος του ποτηριού-, και κάνει τη διαίρεση Γ/2π ο αριθμός που θα βρει θα είναι μικρότερος από την πραγματική απόσταση που απέχει από το ελκτικό κέντρο το οποίο είναι ο πάτος του ποτηριού. Ο κενός χώρος στο εσωτερικό του ποτηριού, απλά δεν υπάρχει γι αυτόν. Γι αυτό όταν δίνουν λ.χ την ακτίνα μιας μαύρης τρύπας όπου ο χώρος έχει ισχυρή καμπύλωση εννοούν απλά το αποτέλεσμα της διαίρεσης της περιφέρειας που είναι κάτι το μετρήσιμο με το 2π. Αν μιλάμε για την ακτίνα καμπυλότητας μιας γραμμής είναι κάτι το διαφορετικό και πιο πολύπλοκο. Πρέπει να διακρίνουμε ανάμεσα στην εσωτερική καμπυλότητα της γραμμής όπως θα την μετρούσε ένας παρατηρητής που ζει στην ίδια επιφάνεια όπου ανήκει η γραμμή και σε εξωτερική ακτίνα καμπυλότητας όπως θα την μετρούσε κάποιος που γνωρίζει ότι η γραμμή είναι εμβαπτισμένη σε χώρο περισσοτέρων διαστάσεων και την μετράει ως παρατηρητής που ανήκει στο χώρο των περισσοτέρων διαστάσεων Έτσι ένας κύκλος στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου έχει μηδενική ακτίνα καμπυλότητας για παρατηρητή επί της κυλινδρικής επιφάνειας αλλά μη μηδενική για έναν που ζει έξω από τον κύλινδρο στον 3-διάστατο χώρο.
Σας ευχαριστώ και τους 2 για τις απαντήσεις. Από ότι κατάλαβα σε μεγάλες αποστάσεις όπου τα παιδία είναι ασθενή οι 2 νόμοι τείνουν να δώσουν ίδια αποτελέσματα.
Αλλά ποία είναι αυτή η απόσταση από ένα σώμα μάζας Μ (άστρο, μαύρη τρύπα κλπ ) στην οποία θα μπορούμε να πούμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του Νεύτωνα ξέροντας ότι έχουμε μια απόκλιση μικρότερη από χ%?
Και μια δεύτερη ερώτηση αφού η βαρύτητα δεν είναι δύναμη γιατί γίνεται όλη αυτή η προσπάθεια ενοποίησης της με τις άλλες 3 δυνάμεις? Αυτή η προσπάθεια είναι από τις αρχές του προηγούμενου αιώνα, αναλώθηκε ο Αϊνστάιν και αναλώνονται σπουδαίοι φυσικοί σαν τον δικό μας τον Νανόπουλο.
Αρκετοί άνθρωποι Αντώνη, πίστεψαν ότι θα μπορούσαν να περιγραφούν όλα τα είδη αλληλεπιδράσεων ως γεωμετρικές ιδιότητες του χωροχρόνου των 4 διαστάσεων ή ακόμα και χώρων με περισσότερες διαστάσεις. Έτσι αν πάμε στις 5 διαστάσεις, οι Kaluza και Klein, μπόρεσαν να δώσουν κοινή περιγραφή της βαρύτητας και του ηλεκτρομαγνητισμού. Ο John Archibald Wheeler κατέβαλε αρκετές προσπάθειες να περιγράψει και την κβαντομηχανική ως γεωμετρική ιδιότητα του χώρου. Δυστυχώς και η δική του προσπάθεια που την ονόμασαν κβαντική γεωμετροδυναμική, αλλά και άλλων να θεωρήσουν αυτό που αντιλαμβανόμαστε ως αλληλεπίδραση σωματιδίων ως προερχόμενη από τις γεωμετρικές-τοπλογικές ιδιότητες του χωροχρόνου, απέτυχαν. Ο βασικός λόγος γι αυτό είναι ότι αν πάμε στο πολύ μικρό όπου κυριαρχεί η κβαντομηχανική, χάνεται η έννοια της ακολουθούμενης τροχιάς των σωματιδίων και συνεπώς η έννοια της συνεχούς γραμμής πάνω σε κάποια έστω γενικευμένη επιφάνεια περισσοτέρων διαστάσεων. Δεν έχει λοιπόν και πολύ νόημα να αναζητήσουμε πως μπορεί το ισχυρό ή το ασθενές φορτίο των κουάρκς να καμπυλώνει το χώρο και το χρόνο. Σε ακόμα πιο μικρή κλίμακα διαστάσεων -κλίμακα Πλανκ- η απροσδιοριστία που πιστεύουμε ότι ισχύει, κοματιάζει το χωροχρόνο και τον μετατρέπει σε ένα είδος κβαντικού αφρού και δεν του επιτρέπει έτσι να συμπεριφερθεί σαν ένα συνεχές μέσον επί του οποίου θα κάνουμε διαφορική γεωμετρία. Πάντως γίνονται ακόμα και σήμερα ελπιδοφόρες προσπάθειες να υποταχτούν όλες οι αλληλεπιδράσεις στη γεωμετρία. Μια τέτοια είναι η λεγόμενη loop quantum gravity. Η γεωμετρία όμως που θα περιγράφει τέτοιες καταστάσεις δεν είναι πια η κλασσική διαφορική γεωμετρία των πολλαπλοτήτων. Χρειάζονται και καινούργια μαθηματικά.
Στο άλλο σου ερώτημα τώρα, "σε ποιες ακτίνες καμπυλότητας αντιστοιχούν κάποια τυπικά βαρυτικά πεδία" π.χ σε πόση ακτίνα καμπυλότητας αντιστοιχεί η τυπική βαρύτητα της γης που είναι g=10m/s^2, θα βρίσκαμε ότι αυτή πρέπει να ισούται με c^2/g = 9X10^15 m. Αυτή είναι μια τεράστια ακτίνα καμπυλότητας (σχεδόν επίπεδος χώρος) και η υπερβολικά μεγάλη τιμή της εξηγεί γιατί δεν έχουμε μέχρι σήμερα άμεση αντίληψη για την καμπυλότητα του χώρου που μας περιβάλλει. Τον βλέπουμε σαν επίπεδο.
Αγαπητέ nic δεν γνώριζα ότι η ενοποίηση γίνεται στην προσπάθεια να περιγραφούν και οι υπόλοιπες δυνάμεις με γεωμετρικούς όρους. Νόμιζα ότι η προσπάθεια ήταν η αντίστροφη.
Όσο για την δεύτερη απάντησή σου αν και χρήσιμη δεν είναι αυτό που ζητούσα. Βασικά με ενδιαφέρει το πότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Νευτώνεια μηχανική. Με άλλα λόγια για ποιές ακτίνες καμπυλότητας ή καλύτερα για ποιό g μπορούμε να πούμε ότι δεν υπάρχει πρόβλημα να χρησιμοποιήσουμε την Νευτώνεια μηχανική με ακρίβεια σφάλματος μικρή πχ 1/1.000.000
Η απάντηση που θα σου δώσω Αντώνη, στο ερώτημά σου έτσι όπως το ξαναέθεσες, εξαρτάται κατ' αρχήν από το ποια μετρική χρησιμοποιήσαμε και ποιες ήταν οι αρχικές συνθήκες για την σημειακή μάζα που θα υποστεί την βαρυτική αλληλεπίδραση. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι χρησιμοποιούμε τη μετρική Schwarzschild και μελετάμε ένα μικρό σώμα που αφήνεται να πέσει ακτινικά προς ένα άστρο. Η περίπτωση αυτή είναι από τις πιο απλές αφού δεν έχουμε εμπλοκή των γωνιακών πολικών συντεταγμένων θ και φ,γι αυτό την επιλέγω. Τότε η εξίσωση για την κοσμική γραμμή στην οποία καταλήγει η Γ.Σ είναι: Δεύτερη παράγωγος της ακτινικής συνιστώσας r ως προς τον ιδιοχρόνο τ= -(ac^2)/(2r^2) η παράμετρος a αν είναι 0 μας οδηγεί στην μετρική Minkowski του επίπεδου χωροχρόνου, ενώ αν είναι διάφορη του μηδενός μας οδηγεί σε καμπύλο χώρο αλλά πάντως με σφαιρική συμμετρία. Από την άλλη μεριά, η διαφορική εξίσωση στη Νευτώνια φυσική για το ίδιο πρόβλημα ενός σωματιδίου που πέφτει ελεύθερα είναι: μ.(δεύτερη παράγωγο του r ως προς τον χρόνο) = -(GMμ)/(r^2) όπου μ είναι η μάζα του σωματιδίου που πέφτει και Μ η μάζα του άστρου. G η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας. Παρατηρούμε λοιπόν ότι αν ταυτίσουμε την ποσότητα (ac^2) με την (2GM) και επιπλέον η κίνηση είναι αρκετά αργή ώστε η παραγώγιση ως προς τον ιδιοχρόνο να τείνει να συμπέσει με την παραγώγιση ως προς τον χρόνο t, τότε η εξίσωση της Γ.Σ συμπίπτει με το Νευτώνιο όριο. Η σταθερά a τότε που μετράει την καμπυλότητα, δεν είναι τίποτε άλλο παρά η μάζα του άστρου σε μονάδες μήκους. Συμπερασματικά βλέπουμε λοιπόν ότι μπορούμε να πάρουμε το κλασσικό όριο και σε μικρά σχετικά r, που δεν είναι επίπεδος ο χώρος, αρκεί να μην διαφέρουν σημαντικά ο ιδιοχρόνος τ από την χρονική συνιστώσα της μετρικής ct. Να μην μελετάμε επίσης πρόβλημα τροχιάς γύρω από το άστρο όπου εμπλέκονται και οι συντεταγμένες θ και φ. Βλέπε π.χ. περίπτωση πλανήτη Ερμή. Δεν νομίζω ότι μπορούμε να δώσουμε μια γενική απάντηση που να καλύπτει όλες τις περιπτώσεις ότι από μια τιμή και πέρα του r συμπίπτουν οι προβλέψεις των δύο θεωριών.
Για τις προσπάθειες ενοποίησης δεν είπα ότι όλοι προσπαθούν στο δρόμο της γεωμετροποίησης. Η θεωρία των υπερχορδών για παράδειγμα ή η θεωρία Μ ακολουθούν διαφορετικούς δρόμους.
Αναφέρει ο Vagelford ότι : Se isxyra pedia kai se mh statikoys xoroxronoys exoyme apoklish apo to 1/r^2 kai synisferoyn kai alloi oroi.
Μπορείτε να μου εξηγήσετε εάν η έννοια του μη στατικού χωροχρόνου περιλαμβάνει και το διαστελλόμενο σύμπαν. Με άλλα λόγια ένα στατικό και ένα διαστελλόμενο σύμπαν δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα για 2 ίδια αντικείμενα που βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις και στις 2 περιπτώσεις?
Προσωπικά έχω καταλήξει ότι έτσι ισχύει ακόμα και στην Νευτώνεια μηχανική αλλά θα ήθελα και την άποψή σας καθώς εκτιμώ ιδιαίτερα τις γνώσεις και φυσικά την γνώμη σας.
